9.4. Não convergência do método de Euler-Maruyama sem condição Lipschitz global

Vejamos, agora, um exemplo de não convergência do método de Euler, mesmo no caso aditivo, quando o termo de drift é apenas localmente Lipschitz. Esse exemplo aparece na Seção 10.5 de Higham & Kloeden (2021) e é feita em detalhes e em maior generalidade em Hutzenthaler, Jentzen & Kloeden (2011).

Interlúdio no caso determinístico

Considere, inicialmente, a equação diferencial ordinária

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = - x^3, \]

com condição inicial \(x(0) = x_0 > 0.\) O método de Euler com passo constante tem a forma

\[ x_j = x_{j-1} - x_{j-1}^3 \Delta t = x_{j-1}(1 - x_{j-1}^2 \Delta t). \]

Seja \(T > 0\) arbitrário e fixe um passo de tempo qualquer \(\Delta t = T/N \leq 2,\) para algum \(N\in\mathbb{N}\). Suponha que a condição inicial seja tal que

\[ x_0 \geq \frac{2}{\Delta t} \geq 1. \]

Nesse caso,

\[ 1 - x_0^2 \Delta t \leq 1 - 2x_0 \leq x_0 - 2x_0 = -x_0. \]

Assim, o primeiro passo de Euler nos dá

\[ x_1 = x_0 - \Delta t x_0^3 = x_0(1 - \Delta t x_0^2) \leq -x_0^2. \]

Por indução, vamos supor que \(|x_j| \geq x_{j-1}^2\), com sinais alternados, \(\mathrm{sgn}(x_j) = (-1)^j\). Vamos separar em dois casos, dependendo da paridade de \(j,\) ou seja, do sinal de \(x_j.\)

Quando \(j\) é par, \(x_j\) tem sinal positivo e

\[ x_j = |x_j| \geq x_0 \geq \frac{2}{\Delta t} \geq 1, \]

de modo que

\[ 1 - x_j^2 \Delta t \leq x_j - x_j^2 \Delta t = x_j (1 - x_j\Delta t) \leq x_j (1 - 2) = - x_j. \]

Portanto,

\[ x_{j+1} = x_j (1 - x_j^2 \Delta t) \leq - x_j^2, \]

ou seja \(x_{j+1}\) é negativo e \(|x_{j+1}| \geq x_j^2.\)

Quando \(j\) é impar, \(x_j\) tem sinal negativo e

\[ x_j = - |x_j| \leq - x_0 \leq - \frac{2}{\Delta t} \leq -1, \]

de modo que

\[ 1 - x_j^2 \Delta t \leq - x_j - x_j^2 \Delta t = -x_j (1 + x_j\Delta t) \leq -x_j (1 - 2) = x_j. \]

Portanto, como \(x_j\) é negativo,

\[ x_{j+1} = x_j (1 - x_j^2 \Delta t) \geq x_j^2, \]

ou seja \(x_{j+1}\) é positivo e \(|x_{j+1}| \geq x_j^2.\)

Assim, em qualquer caso, temos \(x_{j+1}\) de sinal contrário ao de \(x_j\) e com

\[ |x_{j+1}| \geq x_j^2, \]

completando a indução.

Iterando essa relação, obtemos que a aproximação de Euler alterna de sinal e diverge de maneira duplamente exponencial, com

\[ |x_j| \geq |x_{j-1}|^2 \geq (|x_{j-2}|^2)^2 \geq \cdots \geq x_0^{2^j}, \]

ao invés de convergir para zero, como a solução exata da equação.

No argumento acima, começamos com \(x_0\) positivo, mas a mesma ideia se aplica quando \(x_0\) é negativo com \(x_0 \leq -2/\Delta t.\) Ou seja, mais geralmente, se

\[ |x_0| \geq \frac{2}{\Delta t} \geq 1, \]

então vale que o sinal de \(x_j\) alterna a cada iteração e

\[ |x_j| \geq |x_{j-1}|^2 \geq (|x_{j-2}|^2)^2 \geq \cdots \geq |x_0|^{2^j}, \]

Finalmente, observe que fixando \(x_0\) e diminuindo o passo de tempo esse problema desaparece. Isso é compatível com o fato de que o método de Euler converge e é de ordem 1 no caso determinístico. Vamos ver agora como o problema acima pode ser explorado para nos dar que, no caso estocásticom o método de Euler-Maruyama não converge.

Não convergência no caso aleatório

Considere, agora, a equação acima mas com uma condição inicial aleatória, i.e.

\[ \frac{\mathrm{d}X_t}{\mathrm{d}t} = - X_t^3, \]

com \(X_0 = X_0(\omega)\) variável aleatória. Caso \(X_0\) tenha suporte compacto, digamos

\[ |X_0| \leq r, \]

quase certamente, então basta tormarmos um passo \(\Delta t\) suficientemente pequeno tal que

\[ \Delta t < \frac{2}{r}, \]

para evitar as oscilações das aproximações de Euler para um \(\omega\) qualquer. Porém caso \(X_0\) não tenha suporte limitado, podemos não ter esse controle global sobre erro. De fato, suponha que

\[ X_0 \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2), \]

para algum \(\sigma > 0\) e que \(T > 0.\) Dado \(N\in\mathbb{N}\), seja \(\Delta t = T/N\) e defina

\[ A_N = \left\{\omega; \;|X_0(\omega)| \geq \frac{2N}{T} \right\}. \]

Como \(X_0\) é normal, vale a estimativa

\[ \begin{align*} \mathbb{P}(X_0 \geq r) & \geq \mathbb{P}(r \leq X_0 \leq 2r) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_r^{2r} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\;\mathrm{d}x \\ & \geq \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}r e^{-\frac{2r^2}{\sigma^2}}. \end{align*} \]

Em particular,

\[ \mathbb{P}(A_N) = 2\mathbb{P}\left(X_0 \geq \frac{2N}{T}\right) \geq \frac{4}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\frac{N}{T} e^{-\frac{8N^2}{\sigma^2T^2}}. \]

Pelas estimativas acima, temos, para as aproximações de Euler \(X_j(\omega),\) \(j=0, \ldots, N\), onde \(\Delta t = T/N,\) que

\[ |X_j(\omega)| \geq |X_0(\omega)|^{2^j}, \]

para todo \(\omega\in A_N.\) Em particular, para \(j=N,\) temos

\[ |X_N(\omega)| \geq |X_0(\omega)|^{2^N} \geq \left(\frac{2N}{T}\right)^{2^N}. \]

Assim, estimamos a norma forte por

\[ \mathbb{E}\left[|X_N|\right] \geq \left(\frac{2N}{T}\right)^{2^N} \mathbb{P}(A_N) \geq \left(\frac{2N}{T}\right)^{2^N}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\frac{4N}{T} e^{-\frac{8N^2}{\sigma^2T^2}} \rightarrow \infty, \]

quando \(N \rightarrow \infty.\) Da mesma forma,

\[ |X_N(\omega)|^k \geq |X_0(\omega)|^{k2^N} \geq \left(\frac{2N}{T}\right)^{k2^N}, \]

para \(k\in\mathbb{N}\) qualquer, de modo que

\[ \mathbb{E}\left[|X_N|^k\right] \rightarrow \infty, \]

quando \(N\rightarrow \infty,\) também. Isso mostra que os momentos de \(X_N\) não convergem para os momentos da solução exata \(X_T\) no instante \(t=T.\) Em outras palavras, a aproximação de Euler não converge fortemente nem fracamente para a solução exata, nesse caso.

Não convergência no caso estocástico

Consideramos, agora, a perturbação estocástica da equação acima por um ruído aditivo, a saber

\[ \mathrm{d}X_t = -X_t^3\;\mathrm{d}t + \;\mathrm{d}W_t. \]

Vamos assumir \(X_0 = 0,\) para simplificar, mas o resultado vale de maneira mais geral. Dados \(T > 0\) e \(N\in\mathbb{N}\), temos o passo de tempo \(\Delta t = T/N.\) Consideramos apenas \(N\) suficientemente grande tal que

\[ \Delta t = \frac{T}{N} \leq \frac{1}{2}. \]

A aproximação de Euler \(X_j\), nos instantes \(t_j = j\Delta t,\) \(j=0, \ldots, N,\) é dada por

\[ X_j = X_{j-1} - X_{j-1}^3\Delta t + \Delta W_{j-1}, \quad j = 1, \ldots, N, \]

onde

\[ \Delta W_{j-1} = W_{t_j} - W_{t_{j-1}}. \]

Seja

\[ r_N = \frac{N}{T} = \frac{1}{\Delta t} \geq 2. \]

Considere o conjunto amostral

\[ A_N = \left\{\omega\in \Omega; \; |\Delta W_0(\omega)| \geq r_N^2 \textrm{ e } \frac{1}{r_N} \leq |\Delta W_j(\omega)| \leq \frac{2}{r_N}, \;j = 1, \ldots, N \right\}. \]

A ideia é que o primeiro passo leva a aproximação para a região de "explosão" e os passos seguintes não são suficientes para tirá-la de lá. Há, na verdade, muita folga nessa construção. A explosão acontece em uma região muito maior. Mas o conjunto acima facilita as contas e é suficiente para mostrar a não convergência do método, nesse caso.

No que se segue, assumimo, então, que \(\omega\in A_N.\) No primeiro passo, como \(X_0 = 0,\) temos

\[ |X_1| = |\Delta W_0| \geq r_N^2. \]

Agora, vamos assumir, por indução, que \(|X_j| \geq |X_{j-1}|^2,\) para \(j\in\mathbb{N}.\) Para \(j=1,\) como \(X_0 = 0\), então isso vale trivialmente. Vamos, então, assumir que \(|X_j| \geq |X_{j-1}|^2,\) até um certo \(j\in\mathbb{N}\), e mostrar para \(j+1\). Observe que acabamos de ver que \(|X_1| \geq r_N^2.\) Como \(r_N\geq 2\), então \(|X_1|\geq 4.\) Até \(j\), também temos \(|X_j|\geq |X_{j-1}|^2 \geq \ldots \geq |X_1|^{2^{j-1}} \geq r_N^{2^j} \geq 4.\)

Agora, para \(j+1,\) temos

\[ |X_{j+1}| = |X_j (1 - X_j^2\Delta t) + \Delta W_j| \geq |\Delta W_j - X_j^3\Delta t| - |X_j| \geq \max\{|\Delta W_j|, |X_j^3\Delta t|\} - \min\{|\Delta W_j|, |X_j^3\Delta t|\} - |X_j|. \]

Como \(\Delta t = 1/r_N\) e

\[ \frac{1}{r_N} \leq |\Delta W_j| \leq \frac{2}{r_N}, \]

então

\[ |X_{j+1}| \geq \max\{1, |X_j^3|\}\frac{1}{r_N} - \min\{2, |X_j^3|\}\frac{1}{r_N} - |X_j|. \]

Pela a hipótese de indução, temos \(|X_j| \geq 4 \geq 2,\) de modo que

\[ |X_{j+1}| \geq |X_j^3|\frac{1}{r_N} - \frac{2}{r_N} - |X_j|. \]

Como \(|X_j| \geq r_N \geq 2,\) então

\[ \frac{2}{r_N} \leq \frac{|X_j|}{r_N} \leq \frac{|X_j|^2}{r_N} \]

e

\[ |X_j| \leq |X_j|\frac{|X_j|}{r_N} \]

de modo que

\[ \frac{2}{r_N} + |X_j| \leq \frac{2|X_j|^2}{r_N}. \]

Com isso,

\[ |X_{j+1}| \geq |X_j^3|\frac{1}{r_N} - \frac{2|X_j|^2}{r_N} = |X_j|^2\left(|X_j| - 2\right)\frac{1}{r_N}. \]

Como \(|X_j| \geq 4\) e \(r_N \geq 2,\) então

\[ |X_{j+1}| \geq |X_j^3|\frac{1}{r_N} - \frac{2|X_j|^2}{r_N} = |X_j|^2\frac{2}{r_N} \geq |X_j|^2. \]

Isso completa a indução.

Agora, precisamos estimar a medidade de \(A_N\). Como os passos de um processo de Wiener são independentes, temos

\[ \mathbb{P}(A_N) = \mathbb{P}\left(|\Delta W_0(\omega)| \geq r_N^2\right)\prod_{j=1}^N\mathbb{P}\left(\frac{1}{r_N} \leq |\Delta W_j(\omega)| \leq \frac{2}{r_N}\right). \]

Como os passos são normais, \(\Delta W_j \sim \mathcal{N}(0, \Delta t),\) com \(\Delta t = 1/r_N,\) usamos a estimativa acima, que nos diz que para \(Z\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\), vale

\[ \mathbb{P}(Z \geq r) \geq \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}r e^{-\frac{2r^2}{\sigma^2}}. \]

Assim, com \(\sigma^2 = 1/r_N,\)

\[ \mathbb{P}\left(|\Delta W_0(\omega)| \geq r_N^2\right) \geq \sqrt{\frac{2r_N}{\pi}}r_N^2 e^{-2r_N^3} = \sqrt{\frac{2r_N^5}{\pi}} e^{-2r_N^3} \]

e

\[ \mathbb{P}\left(\frac{1}{N} \leq |\Delta W_j(\omega)| \leq \frac{2}{r_N}\right) \geq \sqrt{\frac{2r_N}{\pi}}\frac{1}{r_N} e^{-\frac{2}{r_N^3}} = \sqrt{\frac{2}{\pi r_N}} e^{-\frac{2}{r_N^3}}. \]

Deste modo,

\[ \mathbb{P}(A_N) \geq \sqrt{\frac{2r_N^5}{\pi}} e^{-2r_N^3} \left( \sqrt{\frac{2}{\pi r_N}} e^{-\frac{2}{r_N^3}}\right)^N = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{(N-1)/2}\frac{1}{r_N^{(N-5)/2}}e^{-2(r_N^3 - N/r_N^3)}. \]

Observe que essa medida vai rapidamente para zero, mas o crescimento de \(|X_N|\) nessa região cresce extremamente mais rápido, de forma que

\[ \mathbb{E}\left[ |X_N| \right] \geq \mathbb{E}\left[ |X_N| \chi_{A_N} \right] \geq r_N^{2^N}\mathbb{P}\left(A_N\right) \geq r_N^{2^N}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{(N-1)/2}\frac{1}{r_N^{(N-5)/2}}e^{-2(r_N^3 - N/r_N^3)} \rightarrow \infty, \]

quando \(N\rightarrow \infty.\) Da mesma forma,

\[ \mathbb{E}\left[ |X_N|^k \right] \rightarrow \infty, \]

para todo \(k\in \mathbb{N}.\) Ou seja, o método de Euler não converge nem fortemente, nem fracamente.

Condições mais gerais

Esse resultado vale para equações estocásticas mais gerais, da forma

\[ \mathrm{d}X_t = f(X_t)\;\mathrm{d}t + g(X_t)\;\mathrm{d}W_t, \]

sob condições apropriadas de crescimento em \(f\) e \(g\), conforme demonstrado em Hutzenthaler, Jentzen & Kloeden (2011). Mais precisamente, devemos ter

\[ \max\{|f(x)|, |g(x)|\} \geq \frac{|x|^\beta}{R}, \quad \min\{|f(x)|, |g(x)|\} \leq R|x|^\alpha, \quad \mathbb{P}\left(g(X_0) \neq 0\right) > 0, \]

para \(|x| \geq R\), com \(R \geq 1\), \(\beta > \alpha > 1,\) Isso inclui equações como a equação de Ginzburg-Landau estocástica, a equação de Verhulst estocástica, a equação de difusão de Feller com crescimento logístico, equações cinéticas e outras tantas.