Lembremos do modelo SIS homogêneo, onde a população está dividida entre indivíduos suscetíveis e indivíduos infectados-contagiosos e estes são tratados de maneira homogênea. As respectivas populações são denotadas por S e I, com o total permanecendo constante
S+I=N
Neste caso, temos dois parâmetros:
β:taxa de transmissão
γ:taxa de recuperação
Este modelo é utilizado, por exemplo, para
a gripe comum; e
algumas doenças sexualmente transmissíveis (DST) causadas por bactérias, como gonorréia, sífilis, clamídia e candidíase.
Assumimos que o comportamento de cada indivíduo não muda, portanto, se ele é de baixo risco, continua sendo de baixo risco, mesmo que infectado, e se ele é de alto risco, idem.
A recuperação também se dá dentro do mesmo grupo, com um infectado de baixo risco eventualmente sendo curado e se tornando suscetível de baixo risco e, da mesma forma, um indivíduo infectado de alto risco se tornando suscetível de alto risco.
No entanto, um indivíduo suscetível de baixo ou de alto risco pode se tornar infectado se relacionando com um indivíduo infectado de qualquer um dos dois grupos.
Na forma de ação de massas, isso pode ser descrito pelas reações
⎩⎨⎧SH+IH⟶βHH2IH,SH+IL⟶βHLIH+IL,SL+IH⟶βLHIL+IH,SL+IL⟶βLL2IL,IH⟶γHSH,IL⟶γLSL,(processo de infec¸a˜o entre indivıˊduos de alto risco)(processo de infec¸a˜o entre um suscetıˊvel de alto risco e um infectado de baixo risco)(processo de infec¸a˜o entre um suscetıˊvel de baixo risco e um infectado de alto risco)(processo de infec¸a˜o entre indivıˊduos de baixo risco)(processo de recuperac¸a˜o de indivıˊuos de alto risco)(processo de recuperac¸a˜o de indivıˊuos de baixo risco).
Os parâmetros são similares ao do SIS homogêneo, mas levando em consideração as peculiaridades de cada grupo. Mais precisamente:
βHH= taxa de transmissão por unidade de tempo por indivíduo suscetível de alto risco a partir de interações com o indivíduos infectados de alto risco ("high to high").
βHL= taxa de transmissão por unidade de tempo por indivíduo suscetível de alto risco a partir de interações com o indivíduos infectados de baixo risco ("low to high").
βLH= taxa de transmissão por unidade de tempo por indivíduo suscetível de baixo risco a partir de interações com o indivíduos infectados de alto risco ("high to low").
βLL= taxa de transmissão por unidade de tempo por indivíduo suscetível de baixo risco a partir de interações com indivíduos infectados de baixo risco ("low to low").
γH= taxa de recuperação por unidade de tempo por indivíduo infectado de alto risco.
γL= taxa de recuperação por unidade de tempo por indivíduo infectado de baixo risco.
É comum considerar as seguintes simplificações nos parâmetros:
βHH≫βLL: a taxa de transmissão é maior entre indivíduos de alto risco do que entre os de baixo risco, pois o número de encontros por indivíduo por unidade de tempo entre os indivíduos de maior risco é maior do que entre os de menor risco;
βLL≫βLH,βHL, com base em que o número de encontros entre indivíuos de grupos diferentes é menor do que entre indivíduos do mesmo grupo.
βHL=βLH: as taxas de transmissões são simétricas entre os diferentes grupos;
γL=γH: as taxas de recuperação independem do grupo de risco;
Lembremos dos processos dinâmicos em forma de lei de ação de massas:
⎩⎨⎧SH+IH⟶βHH2IH,SH+IL⟶βHLIH+IL,SL+IH⟶βLHIL+IH,SL+IL⟶βLL2IL,IH⟶γHSH,IL⟶γLSL,(infec¸a˜o entre indivıˊduos de alto risco)(infec¸a˜o entre suscetıˊvel de alto risco e infectado de baixo risco)(infec¸a˜o entre suscetıˊvel de baixo risco e infectado de alto risco)(infec¸a˜o entre indivıˊduos de baixo risco)(recuperac¸a˜o de indivıˊuos de alto risco)(recuperac¸a˜o de indivıˊuos de baixo risco).
Analisemos SH. Este termo aparece nas duas primeiras equações e na penúltima. As duas primeiras se referem à redução da população SH por infecção com os grupos IH e IL. A última se refere ao aumento da população SH com a cura de infectados IH. Levando em consideração as taxas de reação em cada uma delas, e que os número de encontros com indivíduos de cada grupo são em termos da proporção em relação à população total, chegamos à equação
dtdIH=βHLNILSH+βHHNIHSH−γHIH.
Da mesma forma para as outras variáveis. Assim, chegamos ao sistema
Assumindo, inicialmente, que a população de suscetíveis é praticamente toda a população inicial, dentro de cada grupo, i.e. sL≈nL=NL/N e sH≈nH=NH/N, temos
Para que iH(t) seja crescente, vemos, da equação, que é necessário que
(βHHnH−γH)iH+βHLnHiL>0,
enquanto que, para que iL(t) seja crescente, é necessário que
(βLLnL−γL)iL+βLHnLiH>0.
Mas pensando em termos da interpretação de R0 como o número de transmissões secundárias, podemos definir um número básico de reprodução para cada grupo:
R0H=γHβHHnH+βLHnL,
e
R0L=γLβLLnL+βHLnH.
Mas a relação desses números básicos de reprodução com o crescimento do número de infectado em cada grupo não é imediatamente claro.
O fato é que o sistema está acoplado, então uma análise separada do crescimento de cada grupo de infectado não é possível. Devemos fazer uma análise conjunta.
Podemos fazer isso analisando, como dissemos antes, o sistema
vemos que uma condição necessária para o crescimento da norma euclidiana do vetor (iH,iL) é a de que o maior autovalor da matriz associada NB−Γ seja positivo.
Esta é uma matriz quadrada 2×2, portanto é fácil calcularmos os seus autovalores.
Esperamos que βHH≫βLL, mas também que nL≫nH, então a relação entre os dois termos do traço não é claro. De qualquer forma, vamos considerar o caso em que βHHnH−γH≥βLLnL−γL.
Assumindo βHHnH−γH≥βLLnL−γL, nL≥nH e βLH=βHL, temos
Como a matriz associada NB−Γ não é diagonal (a menos que não haja transmissão cruzada entre os grupos), então o autovetor associado ao maior autovalor tem componentes nos dois "eixos" iH e iL, ou seja, ambos tem um crescimento inicial exponencial,
iH∼eλ+t,iL∼eλ+t
A relação entre iH e iL, nessa direção de maior crescimento, é dada pelas componente do autovetor associado a λ+.
Denominamos por um ciclo cada unidade de tempo, digamos um dia.
O ciclo possui uma fase ativa, onde a infeção pode ocorrer, e uma fase inativa, onde não há transmissão da infecção.
Na fase ativa de cada ciclo, uma fraçãoαij da população Ni migra do sítio i para o sítio j, voltando ao sítio i na fase inativa.
Naturalmente, 0≤αij≤1, para cada i,j=1,…,m, e ∑j=1mαij=1, para cada i=1,…,m.
Em cada sítio j=1,…,m, os indivíduos suscetíveis que lá se encontram podem se tornar infectados ao encontrar um indivíduo infectado no mesmo sítio, com um fator de transmissãoβj característico do sítio j em que se encontram.
Os indivíduos infectados de cada sítio, podem se recuperar com um fator de recuperaçãoγi, característico do ambiente e dos indivíduos que habitam o sítio.
Como no caso do modelo SIR clássico, podemos reduzir o sistema a um subsistema envolvendo apenas suscetíveis e infectados, considerando que a população total é constante.