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10.3. Modelos compartimentais estruturados

using LinearAlgebra
using Plots
using Images

Modelos estruturados

Modelos estruturados aparecem naturalmente quando há uma separação entre grupos de indivíduos dentro de um mesmo estágio de uma doença.

Essas estruturas podem aparecer por diversos motivos:

Exemplos

HIV em Colorado Springs

Rede de relações de contato sexual analisada em um estudo de transmissão de HIV em Colorado Springs, EUA (Fonte: Keeling & Rohani (2007)):

HIV Colorado Springs

Divisão em bairros

Sites graph

Modelo SIS homogêneo

Lembremos do modelo SIS homogêneo, onde a população está dividida entre indivíduos suscetíveis e indivíduos infectados-contagiosos e estes são tratados de maneira homogênea. As respectivas populações são denotadas por SS e II, com o total permanecendo constante

S+I=N S + I = N

Neste caso, temos dois parâmetros:

Este modelo é utilizado, por exemplo, para

Modelo na forma de ação de massas

{S+Iβ2I,(processo de infec¸a˜o)IγS,(processo de recuperac¸a˜o). \begin{cases} S + I \stackrel{\beta}{\longrightarrow} 2I, & \text{(processo de infeção)} \\ I \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} S, & \text{(processo de recuperação)}. \end{cases}

Modelo na forma de grafo

SIS graph

Modelo SIS com duas estruturas

Vamos considerar, agora, um modelo SIS com duas estruturas, dividindo a população em dois grupos, os de alto-risco e os de baixo-risco.

A análise abaixo é baseado na Seção 3.1.1 de Keeling & Rohani (2007).

Definimos as seguintes variáveis:

As populações totais de cada grupo permanecem constantes, assim como a população total:

SH+IH=NH (constante),SL+IL=NL (constante),NH+NL=N (constante). S_H + I_H = N_H \textrm{ (constante)}, \qquad S_L + I_L = N_L \textrm{ (constante)}, \qquad N_H + N_L = N \textrm{ (constante)}.

Dinâmica

Na forma de ação de massas, isso pode ser descrito pelas reações

{SH+IHβHH2IH,(processo de infec¸a˜o entre indivıˊduos de alto risco)SH+ILβHLIH+IL,(processo de infec¸a˜o entre um suscetıˊvel de alto risco e um infectado de baixo risco)SL+IHβLHIL+IH,(processo de infec¸a˜o entre um suscetıˊvel de baixo risco e um infectado de alto risco)SL+ILβLL2IL,(processo de infec¸a˜o entre indivıˊduos de baixo risco)IHγHSH,(processo de recuperac¸a˜o de indivıˊuos de alto risco)ILγLSL,(processo de recuperac¸a˜o de indivıˊuos de baixo risco). \begin{cases} S_H + I_H \stackrel{\beta_{HH}}{\longrightarrow} 2I_H, & \text{(processo de infeção entre indivíduos de alto risco)} \\ S_H + I_L \stackrel{\beta_{HL}}{\longrightarrow} I_H + I_L, & \text{(processo de infeção entre um suscetível de alto risco e um infectado de baixo risco)} \\ S_L + I_H \stackrel{\beta_{LH}}{\longrightarrow} I_L + I_H, & \text{(processo de infeção entre um suscetível de baixo risco e um infectado de alto risco)} \\ S_L + I_L \stackrel{\beta_{LL}}{\longrightarrow} 2I_L, & \text{(processo de infeção entre indivíduos de baixo risco)} \\ I_H \stackrel{\gamma_H}{\longrightarrow} S_H, & \text{(processo de recuperação de indivíuos de alto risco)} \\ I_L \stackrel{\gamma_L}{\longrightarrow} S_L, & \text{(processo de recuperação de indivíuos de baixo risco)}. \end{cases}

Parâmetros

Os parâmetros são similares ao do SIS homogêneo, mas levando em consideração as peculiaridades de cada grupo. Mais precisamente:

Relações típicas entre os parâmetros

É comum considerar as seguintes simplificações nos parâmetros:

Representação incluindo ações/processos

SIS structure graph

Sistema de equações diferencias

Lembremos dos processos dinâmicos em forma de lei de ação de massas:

{SH+IHβHH2IH,(infec¸a˜o entre indivıˊduos de alto risco)SH+ILβHLIH+IL,(infec¸a˜o entre suscetıˊvel de alto risco e infectado de baixo risco)SL+IHβLHIL+IH,(infec¸a˜o entre suscetıˊvel de baixo risco e infectado de alto risco)SL+ILβLL2IL,(infec¸a˜o entre indivıˊduos de baixo risco)IHγHSH,(recuperac¸a˜o de indivıˊuos de alto risco)ILγLSL,(recuperac¸a˜o de indivıˊuos de baixo risco). \begin{cases} S_H + I_H \stackrel{\beta_{HH}}{\longrightarrow} 2I_H, & \text{(infeção entre indivíduos de alto risco)} \\ S_H + I_L \stackrel{\beta_{HL}}{\longrightarrow} I_H + I_L, & \text{(infeção entre suscetível de alto risco e infectado de baixo risco)} \\ S_L + I_H \stackrel{\beta_{LH}}{\longrightarrow} I_L + I_H, & \text{(infeção entre suscetível de baixo risco e infectado de alto risco)} \\ S_L + I_L \stackrel{\beta_{LL}}{\longrightarrow} 2I_L, & \text{(infeção entre indivíduos de baixo risco)} \\ I_H \stackrel{\gamma_H}{\longrightarrow} S_H, & \text{(recuperação de indivíuos de alto risco)} \\ I_L \stackrel{\gamma_L}{\longrightarrow} S_L, & \text{(recuperação de indivíuos de baixo risco)}. \end{cases}

Analisemos SHS_H. Este termo aparece nas duas primeiras equações e na penúltima. As duas primeiras se referem à redução da população SHS_H por infecção com os grupos IHI_H e ILI_L. A última se refere ao aumento da população SHS_H com a cura de infectados IHI_H. Levando em consideração as taxas de reação em cada uma delas, e que os número de encontros com indivíduos de cada grupo são em termos da proporção em relação à população total, chegamos à equação

dIHdt=βHLILNSH+βHHIHNSHγHIH. \frac{\mathrm{d} I_H}{\mathrm{d}t} = \beta_{HL}\frac{I_L}{N}S_H + \beta_{HH}\frac{I_H}{N}S_H - \gamma_H I_H.

Da mesma forma para as outras variáveis. Assim, chegamos ao sistema

{dSHdt=βHLILNSHβHHIHNSH+γHIH,dIHdt=βHLILNSH+βHHIHNSHγHIH,dSLdt=βLLILNSLβLHIHNSL+γLIL,dILdt=βLLILNSL+βLHIHNSLγLIL. \begin{cases} \frac{\displaystyle \mathrm{d} S_H}{\displaystyle \mathrm{d}t} = -\beta_{HL}\frac{I_L}{N}S_H - \beta_{HH}\frac{I_H}{N}S_H + \gamma_H I_H, \\ \frac{\displaystyle \mathrm{d} I_H}{\displaystyle \mathrm{d}t} = \beta_{HL}\frac{I_L}{N}S_H + \beta_{HH}\frac{I_H}{N}S_H - \gamma_H I_H, \\ \frac{\displaystyle\mathrm{d} S_L}{\displaystyle \mathrm{d}t} = -\beta_{LL}\frac{I_L}{N}S_L - \beta_{LH}\frac{I_H}{N}S_L + \gamma_L I_L, \\ \frac{\displaystyle \mathrm{d} I_L}{\displaystyle \mathrm{d}t} = \beta_{LL}\frac{I_L}{N}S_L + \beta_{LH}\frac{I_H}{N}S_L - \gamma_L I_L. \end{cases}

Sistema em termos de densidades populacionais

Considerando

sH=SHN,iH=IHN,sL=SLN,iL=ILN, s_H = \frac{S_H}{N}, \quad i_H = \frac{I_H}{N}, \quad s_L = \frac{S_L}{N}, \quad i_L = \frac{I_L}{N},

o sistema pode ser reescrito na forma

{dsHdt=βHLiLsHβHHiHsH+γHiH,diHdt=βHLiLsH+βHHiHsHγHiH,dsLdt=βLLiLsLβLHiHsL+γLiL,diLdt=βLLiLsL+βLHiHsLγLiL. \begin{cases} \frac{\displaystyle \mathrm{d} s_H}{\displaystyle \mathrm{d}t} = -\beta_{HL} \,i_L s_H - \beta_{HH} \,i_H s_H + \gamma_H \,i_H, \\ \frac{\displaystyle \mathrm{d} i_H}{\displaystyle \mathrm{d}t} = \beta_{HL} \,i_L s_H + \beta_{HH} \,i_H s_H - \gamma_H \,i_H, \\ \frac{\displaystyle\mathrm{d} s_L}{\displaystyle \mathrm{d}t} = -\beta_{LL} \,i_L s_L - \beta_{LH} \,i_H s_L + \gamma_L \,i_L, \\ \frac{\displaystyle \mathrm{d} i_L}{\displaystyle \mathrm{d}t} = \beta_{LL} \,i_L s_L + \beta_{LH} \,i_H s_L - \gamma_L \,i_L. \end{cases}

Análise do sistema SIS com duas estruturas

Vamos buscar condições associadas à existência de epidemia, assim como o comportamento global do sistema.

Matriz de transmissão

As taxas de transmissão podem ser agrupadas em uma matriz de transmissão

B=[βHHβHLβLHβLL] B = \left[ \begin{matrix} \beta_{HH} & \beta_{HL} \\ \beta_{LH} & \beta_{LL} \end{matrix} \right]

As frações da população em cada grupo podem ser agrupadas na matriz diagonal

N=[nH00nL], N = \left[ \begin{matrix} n_H & 0 \\ 0 & n_L \end{matrix} \right],

assim como a matriz de recuperação é dada por

Γ=[γH00γL], \Gamma = \left[ \begin{matrix} \gamma_H & 0 \\ 0 & \gamma_L \end{matrix} \right],

Exemplo sintético

Pensando nas condições típicas dos parâmetros (βHHβLLβLH=βHL\beta_{HH} \gg \beta_{LL} \gg \beta_{LH}=\beta_{HL}), um exemplo sintético é

B=[100.10.11] B = \left[ \begin{matrix} 10 & 0.1 \\ 0.1 & 1 \end{matrix} \right]

Assumimos, também, que

γL=γH=1 \gamma_L = \gamma_H = 1

Consideramos "1 mês" como sendo a unidade de tempo.

Assumimos, finalmente, que a população está dividida em 20%20\% em grupo de alto risco e 80%80\% em grupo de baixo risco, ou seja,

nH=0.8,nL=0.2. n_H = 0.8, \qquad n_L = 0.2.

Compare isso com a matriz de transmissão no estudo de HIV em Colorado Springs:

HIV Colorado Springs transmission matrix

Condição para epidemia

No caso homogêneo, analisamos (exercício) a equação i=βisγii' = \beta is - \gamma i.

No caso com estrutura, temos infectados em mais de um grupo e isso nos leva a analisar o subsistema

{diHdt=βHLiLsH+βHHiHsHγHiH.diLdt=βLLiLsL+βLHiHsLγLiL. \begin{cases} \frac{\displaystyle \mathrm{d} i_H}{\displaystyle \mathrm{d}t} = \beta_{HL} \,i_L s_H + \beta_{HH} \,i_H s_H - \gamma_H \,i_H. \\ \frac{\displaystyle \mathrm{d} i_L}{\displaystyle \mathrm{d}t} = \beta_{LL} \,i_L s_L + \beta_{LH} \,i_H s_L - \gamma_L \,i_L. \end{cases}

Assumindo, inicialmente, que a população de suscetíveis é praticamente toda a população inicial, dentro de cada grupo, i.e. sLnL=NL/Ns_L \approx n_L = N_L/N e sHnH=NH/Ns_H \approx n_H = N_H/N, temos

ddt(iHiL)[βHHnHγHβHLnHβLHnLβLLnLγL](iHiL). \frac{\displaystyle \mathrm{d}}{\displaystyle \mathrm{d}t} \left(\begin{matrix} i_H \\ i_L \end{matrix} \right) \lessapprox \left[ \begin{matrix} \beta_{HH}n_H - \gamma_H & \beta_{HL}n_H \\ \beta_{LH}n_L & \beta_{LL}n_L - \gamma_L \end{matrix} \right] \left(\begin{matrix} i_H \\ i_L \end{matrix} \right).

Observe que

[βHHnHγHβHLnHβLHnLβLLnLγL]=NBΓ. \left[ \begin{matrix} \beta_{HH}n_H - \gamma_H & \beta_{HL}n_H \\ \beta_{LH}n_L & \beta_{LL}n_L - \gamma_L \end{matrix} \right] = NB - \Gamma.

Crescimento epidêmico em cada grupo

Para que iH(t)i_H(t) seja crescente, vemos, da equação, que é necessário que

(βHHnHγH)iH+βHLnHiL>0, (\beta_{HH}n_H - \gamma_H)i_H + \beta_{HL}n_H i_L > 0,

enquanto que, para que iL(t)i_L(t) seja crescente, é necessário que

(βLLnLγL)iL+βLHnLiH>0. (\beta_{LL}n_L - \gamma_L)i_L + \beta_{LH}n_L i_H > 0.

Mas pensando em termos da interpretação de R0R_0 como o número de transmissões secundárias, podemos definir um número básico de reprodução para cada grupo:

R0H=βHHnH+βLHnLγH, R_0^H = \frac{\beta_{HH}n_H + \beta_{LH}n_L}{\gamma_H},

e

R0L=βLLnL+βHLnHγL. R_0^L = \frac{\beta_{LL}n_L + \beta_{HL}n_H}{\gamma_L}.

Mas a relação desses números básicos de reprodução com o crescimento do número de infectado em cada grupo não é imediatamente claro.

No exemplo sintético

De qualquer maneira, considerando o exemplo sintético acima, temos

R0H=10×0.2+0.1×0.81=2.08 R_0^H = \frac{10 \times 0.2 + 0.1 \times 0.8}{1} = 2.08

e

R0L=1×0.8+0.1×0.21=0.82. R_0^L = \frac{1 \times 0.8 + 0.1 \times 0.2}{1} = 0.82.

Análise matricial

O fato é que o sistema está acoplado, então uma análise separada do crescimento de cada grupo de infectado não é possível. Devemos fazer uma análise conjunta.

Podemos fazer isso analisando, como dissemos antes, o sistema

ddt(iHiL)[βHHnHγHβHLnHβLHnLβLLnLγL](iHiL). \frac{\displaystyle \mathrm{d}}{\displaystyle \mathrm{d}t} \left(\begin{matrix} i_H \\ i_L \end{matrix} \right) \lessapprox \left[ \begin{matrix} \beta_{HH}n_H - \gamma_H & \beta_{HL}n_H \\ \beta_{LH}n_L & \beta_{LL}n_L - \gamma_L \end{matrix} \right] \left(\begin{matrix} i_H \\ i_L \end{matrix} \right).

O crescimento inicial, ou não, de iHi_H e/ou de iLi_L será determinado, essencialmente, pelo maior autovalor da matriz NBΓNB-\Gamma associada ao sistema acima.

Medindo o número de infectados

O número total de infectados é i=iH+iLi = i_H + i_L.

Por outro lado, na análise do sistema acima, é mais apropriado considerarmos a norma euclidiana iH2+iL2\sqrt{i_H^2 + i_L^2} do vetor (iH,iL)(i_H, i_L).

Como iHi_H e iLi_L são não-negativos, i=iH+iLi = i_H + i_L nos dá a norma da soma do vetor (iH,iL)(i_H, i_L) (ou norma 1\ell^1).

As duas medidas, felizmente, são equivalentes:

iH2+iL2iH+iL2iH2+iL2. \sqrt{i_H^2 + i_L^2} \leq i_H + i_L \leq \sqrt{2}\sqrt{i_H^2 + i_L^2}.

De fato, basta elevar ao quadrado para obter, de um lado,

iH2+iL2iH2+2iHiL+iL2=(iH+iL)2 i_H^2 + i_L^2 \leq i_H^2 + 2i_Hi_L + i_L^2 = (i_H + i_L)^2

e, de outro, usando a desigualdade de Young ab(a2+b2)/2ab \leq (a^2 + b^2)/2,

(iH+iL)2=iH2+2iHiL+iL22(iH2+iL2). (i_H + i_L)^2 = i_H^2 + 2i_Hi_L + i_L^2 \leq 2(i_H^2 + i_L^2).

Autovalores da matriz associada

Pelo susbsistema

ddt(iHiL)[βHHnHγHβHLnHβLHnLβLLnLγL](iHiL). \frac{\displaystyle \mathrm{d}}{\displaystyle \mathrm{d}t} \left(\begin{matrix} i_H \\ i_L \end{matrix} \right) \lessapprox \left[ \begin{matrix} \beta_{HH}n_H - \gamma_H & \beta_{HL}n_H \\ \beta_{LH}n_L & \beta_{LL}n_L - \gamma_L \end{matrix} \right] \left(\begin{matrix} i_H \\ i_L \end{matrix} \right).

vemos que uma condição necessária para o crescimento da norma euclidiana do vetor (iH,iL)(i_H, i_L) é a de que o maior autovalor da matriz associada NBΓNB-\Gamma seja positivo.

Esta é uma matriz quadrada 2×22 \times 2, portanto é fácil calcularmos os seus autovalores.

Temos

tr(NBΓ)=βHHnHγH+βLLnLγL \mathop{\mathrm{tr}}(NB-\Gamma) = \beta_{HH}n_H - \gamma_H + \beta_{LL}n_L - \gamma_L det(NBΓ)=(βHHnHγH)(βLLnLγL)βHLnHβLHnL. \det(NB-\Gamma) = (\beta_{HH}n_H - \gamma_H)(\beta_{LL}n_L - \gamma_L) - \beta_{HL}n_H\beta_{LH}n_L.

Em geral, o maior autovalor de uma matriz quadrada 2×22\times 2 é

λ+=tr(NBΓ)+tr(NBΓ)24det(NBΓ)2 \lambda_+ = \frac{\mathop{\mathrm{tr}}(NB-\Gamma) + \sqrt{\mathop{\mathrm{tr}}(NB-\Gamma)^2 - 4\det(NB-\Gamma)}}{2}

Como

tr(NBΓ)2=(βHHnHγH+βLLnLγL)2=(βHHnHγH)2+2(βHHnHγH)(βLLnLγL)+(βLLnLγL)2, \mathop{\mathrm{tr}}(NB-\Gamma)^2 = (\beta_{HH}n_H - \gamma_H + \beta_{LL}n_L - \gamma_L)^2 = (\beta_{HH}n_H - \gamma_H )^2 + 2(\beta_{HH}n_H - \gamma_H)(\beta_{LL}n_L - \gamma_L) + (\beta_{LL}n_L - \gamma_L)^2,

vemos que

tr(NBΓ)24det(NBΓ)=((βHHnHγH)(βLLnLγL))2+4βHLnHβLLnL. \mathop{\mathrm{tr}}(NB-\Gamma)^2 - 4\det(NB-\Gamma) = ((\beta_{HH}n_H - \gamma_H) - (\beta_{LL}n_L - \gamma_L))^2 + 4\beta_{HL}n_H\beta_{LL}n_L.

Esperamos que βHHβLL\beta_{HH} \gg \beta_{LL}, mas também que nLnHn_L \gg n_H, então a relação entre os dois termos do traço não é claro. De qualquer forma, vamos considerar o caso em que βHHnHγHβLLnLγL\beta_{HH}n_H - \gamma_H \geq \beta_{LL}n_L - \gamma_L.

Assumindo βHHnHγHβLLnLγL\beta_{HH}n_H - \gamma_H \geq \beta_{LL}n_L - \gamma_L, nLnHn_L \geq n_H e βLH=βHL\beta_{LH} = \beta_{HL}, temos

tr(NBΓ)24det(NBΓ)(βHHnHγH)(βLLnLγL)+2βHLnHβLHnL, \sqrt{\mathop{\mathrm{tr}}(NB-\Gamma)^2 - 4\det(NB-\Gamma)} \leq (\beta_{HH}n_H - \gamma_H) - (\beta_{LL}n_L - \gamma_L) + 2\sqrt{\beta_{HL}n_H\beta_{LH}n_L},

de modo que

λ+βHHnHγH+βHLnHβLHnLβHHnHγH+βHLnL=γH(βHHnH+βHLnLγH1). \lambda_+ \leq \beta_{HH}n_H - \gamma_H + \sqrt{\beta_{HL}n_H\beta_{LH}n_L} \leq \beta_{HH}n_H - \gamma_H + \beta_{HL}n_L = \gamma_H \left( \frac{\beta_{HH}n_H + \beta_{HL}n_L}{\gamma_H} - 1\right).

Portanto

λ+γH(R0H1). \lambda_+ \leq \gamma_H(R_0^H - 1).

Se λ+>0\lambda_+ > 0, então R0H>1R_0^H > 1, mas essas condições não são equivalentes.

Maior autovalor no exemplo sintético

No exemplo, temos

NBΓ=[10×0.210.1×0.20.1×0.81×0.81]=[10.020.080.2], NB-\Gamma = \left[ \begin{matrix} 10 \times 0.2 - 1 & 0.1 \times 0.2 \\ 0.1 \times 0.8 & 1 \times 0.8 - 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0.02 \\ 0.08 & -0.2 \end{matrix} \right],

cujos autovalores são

λ+1.0013,λ0.2013. \lambda_+ \approx 1.0013, \quad \lambda_- \approx -0.2013.

Observe que

γH(R0H1)1.08, \gamma_H(R_0^H - 1) \approx 1.08,

o que dá uma "folga" de 1.081.013=0.07871.08-1.013 = 0.0787.

A = [1 0.02; 0.08 -0.2]
eigen(A)
LinearAlgebra.Eigen{Float64, Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
values:
2-element Vector{Float64}:
 -0.20133185513491633
  1.0013318551349164
vectors:
2×2 Matrix{Float64}:
 -0.0166459  0.99779
  0.999861   0.0664456
eigvals(A)
2-element Vector{Float64}:
 -0.20133185513491633
  1.0013318551349164
eigvecs(A)
2×2 Matrix{Float64}:
 -0.0166459  0.99779
  0.999861   0.0664456

Crescimento de cada grupo de infectados

Como a matriz associada NBΓNB-\Gamma não é diagonal (a menos que não haja transmissão cruzada entre os grupos), então o autovetor associado ao maior autovalor tem componentes nos dois "eixos" iHi_H e iLi_L, ou seja, ambos tem um crescimento inicial exponencial,

iHeλ+t,iLeλ+t i_H \sim e^{\lambda_+ t}, \qquad i_L \sim e^{\lambda_+ t}

A relação entre iHi_H e iLi_L, nessa direção de maior crescimento, é dada pelas componente do autovetor associado a λ+\lambda_+.

Pontos importantes

  1. O número básico de reprodução da população inteira é obtido através da análise de autovalores de uma matriz apropriada.

  2. O número básico de reprodução é limitado pelos valores dos números individuais de cada grupo.

Modelo SIR em rede de sítios

Representação do sistema

Nesse caso, consideramos

Sites graph

Dinâmica

Sistema de equações diferenciais

Temos o sistema

{dSidt=j=1mk=1mβjαkjαijIkN~jSi,i=1,,m,dIidt=j=1mk=1mβjαkjαijIkN~jSiγiIi,i=1,,m,dRidt=γiIi,i=1,,m, \begin{cases} \displaystyle \frac{\rm d S_i}{\rm d t} = - \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m \beta_j\alpha_{kj}\alpha_{ij}\frac{I_k}{\tilde N_j}S_i, & i = 1, \ldots, m, \\ \displaystyle \frac{\rm d I_i}{\rm d t} = \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m \beta_j\alpha_{kj}\alpha_{ij}\frac{I_k}{\tilde N_j}S_i - \gamma_i I_i, & i = 1, \ldots, m, \\ \displaystyle \frac{\rm d R_i}{\rm d t} = \gamma_i I_i, & i = 1, \ldots, m, \end{cases}

onde

N~j=i=1nαijNi,j=1,,m, \tilde N_j = \sum_{i=1}^n \alpha_{ij}N_i, \qquad j = 1, \ldots, m,

é a população existente no sítio jj durante a fase ativa do ciclo.

Conservação da população total de cada sítio

Podemos verificar, como esperado da modelagem, que a população total originária de cada sítio permanece constante:

dNidt=ddt(Si+Ii+Ri)=0. \frac{\rm d N_i}{\rm d t} = \frac{\rm d}{\rm d t}\left( S_i + I_i + R_i \right) = 0.

Assim,

Ni=Si+Ii+Ri= constante,i=1,,m. N_i = S_i + I_i + R_i = \text{ constante}, \qquad \forall i =1, \ldots, m.

Como consequência, também temos que a população em cada sítio durante a fase ativa do ciclo também é constante:

N~j=i=1nαijNi= constante,j=1,,m. \tilde N_j = \sum_{i=1}^n \alpha_{ij}N_i = \text{ constante}, \qquad \forall j = 1, \ldots, m.

Redução do sistema

Como no caso do modelo SIR clássico, podemos reduzir o sistema a um subsistema envolvendo apenas suscetíveis e infectados, considerando que a população total é constante.

Temos

Ri=NiSiIi R_i = N_i - S_i - I_i

e basta consideramos

{dSidt=j=1mk=1mβjαkjαijIkN~jSi,i=1,,m,dIidt=j=1mk=1mβjαkjαijIkN~jSiγiIi,i=1,,m, \begin{cases} \displaystyle \frac{\rm d S_i}{\rm d t} = - \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m \beta_j\alpha_{kj}\alpha_{ij}\frac{I_k}{\tilde N_j}S_i, & i = 1, \ldots, m, \\ \displaystyle \frac{\rm d I_i}{\rm d t} = \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m \beta_j\alpha_{kj}\alpha_{ij}\frac{I_k}{\tilde N_j}S_i - \gamma_i I_i, & i = 1, \ldots, m, \end{cases}

onde

N~j=i=1nαijNi,j=1,,m, \tilde N_j = \sum_{i=1}^n \alpha_{ij}N_i, \qquad j=1, \ldots, m,

são constantes.

Representação vetorial

Considerando os estados na forma de vetores,

S=(S1,,Sm),I=(I1,,Im), S=(S_1, \ldots, S_m), \qquad I = (I_1, \ldots, I_m),

podemos escrever as equações na forma vetorial

{dSdt=diag(AI)S,dIdt=diag(AI)SΓI, \begin{cases} \displaystyle \frac{\rm d S}{\rm d t} = - \rm{diag}(AI)S, \\ \displaystyle \frac{\rm d I}{\rm d t} = \rm{diag}(AI)S - \Gamma I, \end{cases}

onde

A=(j=1mβjαkjαijN~j)ik A = \left(\sum_{j=1}^m\frac{\beta_j\alpha_{kj}\alpha_{ij}}{\tilde N_j}\right)_{ik} AI=(k=1mj=1mβjαkjαijN~jIk)i AI = \left(\sum_{k=1}^m\sum_{j=1}^m\frac{\beta_j\alpha_{kj}\alpha_{ij}}{\tilde N_j} I_k\right)_i

Referências