2.1. Princípios básicos de modelagem

• Modelos em geral

• Modelos matemáticos

• Tipos de modelos

• Tipos de modelagem

• Ajuste de parâmetros

• Validação

• Escolha do modelo

• Quantificação de incertezas

Modelos

• Um modelo é uma representação de algo:

  • Pessoa

  • Objeto

  • Conceito

  • Fenômeno

  • Etc.

Exemplos de modelos

• Um busto é uma representação visual de um indivíduo;

• Um perfil psicológico é um modelo das características psicológicas de um indivíduo;

• Um mapa é um modelo geográfico, e.g. um mapa rodoviário, topográfico, geo-político, etc.

Créditos: Imagem da rainha Nefertiti, Star Wars pesonality test Pesquisa CNT de rodovias

Modelo matemático

Um modelo matemático usa conceitos matemáticos nessas representações.

• Um mapa rodoviário pode ser um grafo conectando lugares.

\[ \begin{align} & \qquad \qquad \qquad \fbox{Minas Gerais} \\ & \qquad \qquad \nearrow \qquad \quad \;\updownarrow \qquad \qquad \nwarrow \\ & \fbox{São Paulo} \longleftrightarrow \fbox{Rio de Janeiro} \longleftrightarrow \fbox{Espírito Santo} \end{align} \]

• A dependência da oferta \(Q(P)\) de um produto em relação ao seu preço \(P\) pode ser o de elasticidade-constante \(\epsilon\), com uma função

\[ Q(P) = C P^\epsilon. \]

• A dinâmica populacional de uma determinada espécie pode ser a equação diferencial logística

\[ \frac{\text{d} x}{\text{d} t} = \alpha x - \beta x^2. \]

Tipos de modelos

• estacionário x dinâmico

• determinístico x estocástico

• discreto x contínuo

• explícito x implícito

• macroscópico/microscópico x complexo

• diferencial x não-diferencial

• otimização x não-otimização

Modelagem matemática

"Modelagem matemática é um processo que utiliza conceitos matemáticos para representar, analisar, fazer previsões e obter conhecimento de fenômenos do mundo real." - GAIMME

Processo de modelagem

Tipos de modelagem

O processo de modelagem pode seguir vários caminhos:

• empírico: através da observação, seja de fenômenos reais, seja de experimentos controlados

• análise dimensional: baseado na análise das dimensões de quantidades envolvidas no fenômeno

• ad-hoc: introduzida sem muito fundamento e sem muita capacidade de generalização/extrapolação

• mecanicista: baseado em mecanismos envolvidos no fenômeno

  • heurístico: baseada em mecanismos qualitativos (e.g. os termos de interação entre duas espécies)

  • fundamental: baseado em relações/modelos bem estabelecidas e "precisos" (e.g. mecânica, termodinâmica, lei ação de massas)

Vale ressaltar que vários desses processos estão interligados.

Ajuste de parâmetros

• Uma parte fundamental do processo de modelagem é o ajuste de parâmetros.

• Os modelos dependem, normalmente, de vários parâmetros.

• É fundamental termos dados reais para ajustar os parâmetros a esses dados, e assim modelar o fenômeno apropriadamente.

• Esse ajuste pode ser feito com várias técnicas, algumas das quais veremos ao longo do curso.

• E invariavelmente os dados reais contém ruídos da medição e/ou refletem incertezas inerentes ao processo. Nesse caso, conceitos estatísticos/probilísticos são necessários.

Validação

• No processo de modelagem, não devemos nos preocupar apenas com a criação do modelo.

• É preciso validá-lo, também.

• Mesmo no modelo de um busto, fazemos a validação através da olhar, ou até mesmo do tato.

• Em um modelo matemático, também podemos fazer isso, tanto de forma qualitativa como quantitativa.

• No exemplo de alometria, podemos medir, para cada comprimento dado, a diferença entre os valores medidos para a massa e o valor estimado pelo modelo, e ver o quão pequena essa diferença é. De preferência de forma relativa, para termos um critério mais objetivo, entre modelos.

Escolha do modelo

• Em muitos casos, vários modelos parecem ser apropriados.

• Não é tão imediato decidir qual deles será mais satisfatório para o problema em questão.

• Diversas técnicas podem ser utilizadas para verificar a robustez de um modelo a predições, evitando, em particular, um excesso de parâmetros que possam ajustar perfeitamente o modelo mas causar erros grosseiros de predição, algo conhecido como over-fitting.

• Há testes de validação cruzada e critérios de teoria de informação que iremos explorar com esse objetivo.

Quantificação de incertezas

• Qualquer modelo contém incertezas em relação ao objeto da modelagem.

• Incertezas de naturezas diversas:

  • Aspectos não considerados no modelo;

  • Impossibilidade do fenômeno de ser completamente modelado;

  • Imprecisões nas medições;

  • Incertezas no ajuste de dados.

• Nesse sentido, é importante buscar quantificar essas incertezas e como elas afetam diversos aspectos oriundos da modelagem:

  • Predição

  • Representação

  • Análise

  • Robustez

• Há técnicas clássicas de análise de erro

  • Estatísticas/probilísticas (e.g. médias, desvio-padrão, cálculo de intervalos de confiança, análises de correlação)

  • Propagação local de erro, via análise de derivads

  • Propagação global de erro, via simulações de Monte-Carlo

Conclusão

• Vimos acima diversos aspectos do processo de modelagem:

  • Observação

  • Elaboração do modelo

  • Ajuste de dados

  • Validação

  • Escolha do "melhor" modelo

  • Quantificação de incertezas

• Ao longo do curso, vamos analisar cada um desses aspectos

• Faremos isso buscando, também, trabalhar em cima de diversos casos concretos

• E através de projetos em que cada um de vocês terá a oportunidade de fazer na prática