7.1. Mecânica Newtoniana

Fundamentos

• A base da mecânica clássica é a formulação Newtoniana de um sistema formado por \(n\in\mathbb{N}\) partículas de massa \(m_i>0\), \(i=1,\ldots, n\), cujas coordenadas espaciais são dadas por

\[ \mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(t)=(x_i(t),y_i(t),z_i(t))\in\mathbb{R}^3, \]

em cada instante \(t\in\mathbb{R}\).

• Cada partícula é sujeita a uma força \(\mathbf{F}_i\in\mathbb{R}^3\).

• Em um referencial inercial, esse sistema satisfaz as equações diferenciais (segunda lei de Newton)

\[ m_i \mathbf{\ddot r}_i = \mathbf{F}_i, \qquad i=1,\ldots,n, \]

onde \(\mathbf{\ddot r}_i\) indica a aceleração da \(i\)-ésima partícula, ou seja a segunda derivada do vetor posição \(\mathbf{r}_i(t)\) em relação à variável temporal \(t\).

• Essas equações são as leis de movimento do sistema.

• A força \(\mathbf{F}_i\) em cada partícula pode depender do instante de tempo \(t\) e da posição das várias partículas, representando forças externas ao sistema e forças de interação entre a \(i\)-ésima partícula e as outras, de modo que em geral temos

\[ \mathbf{F}_i=\mathbf{F}_i(t,\mathbf{r}), \]

onde

\[ \mathbf{r}=(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_n)\in \mathbb{R}^{3n} \]

são as coordenadas do sistema, ou seja, um vetor de dimensão \(3n\) com as coordenadas espaciais de todas as partículas.

• Mais geralmente, para incluir efeitos eletromagnéticos, a força também pode depender da velocidade das partículas:

\[ \mathbf{F}_i=\mathbf{F}_i(t,\mathbf{r}, \mathbf{\dot r}), \]

Tipos de forças

• Há vários tipos de forças: gravitacional, elétrica, magnética, elásticas, etc.

• Podemos, no entanto, separar alguns tipos de força segundo a sua natureza.

• Algumas forças são internas, decorrentes da interação entre as diversas particulas do próprio sistema.

• Outras são externas, provenientes de um "campo de força", associada a fatores externos ao sistema, muitas vezes correspondendo a uma situação aproximada em que as partículas consideradas no sistema não influenciam no movimento das partículas consideradas externas. Vamos ver alguns exemplos.

• Um exemplo típico de força externa é o campo gravitacional gerado por um corpo relativamente muito maciço e que não é incluído no conjunto de partículas do sistema, como na análise de um corpo em queda livre próximo à superfície da Terra ou mesmo na de um satélite artificial em órbita terrestre.

• Da mesma forma, podemos ter campos magnéticos e campos eletromagnéticos, onde certos objetos gerando esses campos não são incluídos no sistema de partículas do modelo.

Exemplos de forças

• Há quatro forças fundamentais: fraca, forte, eletromagnética e gravitacional. O tratamento mais geral delas, no entanto, não é através de um sistema finito de partículas pontuais, mas sim através de teorias de campo.

• Contudo, algumas situação podem ser bem aproximadas por um sistema discreto, como as que envolvem forças gravitacionais agindo entre partículas que se movem a velocidades bem inferiores à velocidade da luz, ou então entre partículas carregadas eletricamente.

• Essas forças podem ser entre partículas elementares ou entre conjuntos de partículas, como no caso da atração gravitacional entre corpos celestes.

• Há também forças ditas macroscópicas e provenientes da ação das forças fundamentais em certos conjuntos de partículas tratados como um único objeto, como no caso de forças elásticas entre duas massas ligados por uma mola.

• Várias forças de ligações químicas também entram nessa categoria, como a força de van der Walls e forças de torção.

Forças internas

• Vamos ver alguns exemplos de forças internas.

• Veremos posteriormente que todas essas forças são conservativas, ou seja, provenientes de potenciais.

Força gravitacional entre dois corpos

• Sejam \(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2\in \mathbb{R}^3\) as coordenadas do centro de massa, em algum referencial inercial, de dois corpos com massas \(m_1, m_2>0\), respectivamente.

• Cada corpo exerce uma força de atração gravitacional no outro, que depende das coordenadas dos dois corpos.

• Denotando \(\mathbf{F}_{i,j}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)\) a força que o corpo \(j\) exerce no corpo \(i\), para \(i,j=1,2\), \(i\neq j\), temos

\[ \begin{align*} \mathbf{F}_{1,2}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)& =-Gm_1m_2\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{\|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\|^3}, \\ \mathbf{F}_{2,1}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)&=-Gm_1m_2\frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1}{\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|^3}. \end{align*} \]

Força eletrostática entre dois corpos carregados

• Sejam \(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\in \mathbb{R}^3\) as coordenadas do centro de massa, em algum referencial inercial, de dois corpos carregados eletricamente com cargas \(q_1, q_2\in \mathbb{R}\), respectivamente.

• Cada corpo exerce uma força elétrostática no outro, de acordo com a lei de Coulomb.

• Denotando \(\mathbf{F}_{i,j}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)\) a força que o corpo \(j\) exerce no corpo \(i\), para \(i,j=1,2\), \(i\neq j\), temos

\[ \begin{align*} \mathbf{F}_{1,2}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)& =Cq_1q_2\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{\|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\|^3}, \\ \mathbf{F}_{2,1}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)&=Cq_1q_2\frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1}{\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|^3}. \end{align*} \]

Força elástica harmônica

• Sejam \(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\in \mathbb{R}^3\) as coordenadas do centro de massa, em algum referencial inercial, de dois corpos com massas \(m_1, m_2>0\), respectivamente.

• Suponha que esses dois corpos estejam ligados por uma mola harmônica de comprimento de equilíbrio \(\ell>0\) e coeficiente de restituição \(k>0\).

• Cada corpo sofre uma força de restituição proporcional ao deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio.

• Denotando por \(\mathbf{F}_{i,j}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)\) a força exercida no corpo \(i\) pela mola que a liga ao corpo \(j\), para \(i,j=1,2\), \(i\neq j\), temos

\[ \begin{align*} \mathbf{F}_{1,2}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)& = -k(\|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\|-d)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{\|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\|}, \\ \mathbf{F}_{2,1}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)&=-k(\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|-d)\frac{\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1}{\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|}. \end{align*} \]

Campos de força externos

• No caso de forças gravitacionais, há situações em que um corpo é muito mais massivo que outro e a influência do menos massivo no mais massivo pode ser desprezada.

• Nesse caso, o sistema consiste apenas do menos massivo e a influência do mais massivo pode ser representada por um campo de forças externas.

• Mais precisamente, suponha, por exemplo, um objeto próximo à superfície da Terra. Considerando as coordenadas do objeto como \(\mathbf{r}=(x,y,z)\), com a coordenada \(z\) perpendicular à superfície da Terra e com o sentido de crescimento indicando um afastamento da superfície, então a força gravitacional exercida pela Terra nesse corpo que assumimos de massa \(m>0\) é dada por

\[ \mathbf{F} = m\mathbf{g}, \]

onde \(\mathbf{g}=(0,0,-g)\) e \(g\) é a aceleração gravitacional próxima à superfície da Terra.

• Observe que essa força pode ser escrita na forma

\[ \mathbf{F} = m\mathbf{G}(\mathbf{r}), \]

onde

\[ \mathbf{G} = \mathbf{g} \]

é chamado de campo gravitacional uniforme próximo à superfície da Terra.

• A vantagem de escrever a força dessa forma é que se tivermos \(n\) objetos de massas \(m_1,\ldots,m_n\), então basta considerarmos o campo \(\mathbf{G}(\mathbf{r})=\mathbf{g}\), de forma que a força gravitacional em cada objeto é dada por

\[ \mathbf{F}_i = m_i \mathbf{G}. \]

• Há vários tipos de campos de força, correspondentes aos tipos de força.

• De fato, podemos ter campos gravitacionais, campos elétricos, campos magnéticos, campos eletro-magnéticos, etc.

Campo gravitacional

• Um campo de vetores \(\mathbf{G}=\mathbf{G}(\mathbf{r})\) de \(\mathbb{R}^3\)em \(\mathbb{R}^3\) pode ser interpretado como um campo gravitacional quando a força exercida por esse campo em uma partícula de massa \(m>0\) e posição \(\mathbf{r}\in \mathbb{R}^3\) é dada por

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r}) = m\mathbf{G}(\mathbf{r}). \]

• É claro que \(n\) partículas de massas \(m_i\) e coordenadas \(\mathbf{r}_i\), \(i=1,\ldots, n\), sofrem forças

\[ \mathbf{F}_i(\mathbf{r}_i) = m_i\mathbf{G}(\mathbf{r}_i), \]

respectivamente.

• Há vários casos partículares interessantes:

Campo gravitacional uniforme

• Esse é um caso partícular em que \(\mathbf{G}\) é constante, geralmente denotado \(\mathbf{G}(\mathbf{r})=\mathbf{g}\), para algum vetor \(\mathbf{g}\in \mathbb{R}\) representando a aceleração gravitacional.

• No caso clássico em que \(\mathbf{r}=(x,y,z)\) e \(z\) representa a altura em relação à superfície da Terra, temos \(\mathbf{g}=(0,0,-g)\), onde \(g\) é a aceleração gravitacional próxima à superfície da Terra.

Campo gravitacional de um corpo celeste

• Considerando um corpo de massa \(M\) e posição \(\mathbf{r}_0\in \mathbb{R}^3\), em algum referencial inercial, o campo gravitacional gerado por esse corpo é dado por

\[ \mathbf{G}(\mathbf{r}) = -GM\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_0}{\|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\|^3}. \]

• Considerando um corpo de massa \(m\), a força exercida neste corpo por esse campo gravitacional é

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r}) = m\mathbf{G}(\mathbf{r}). \]

Campo elétrico

• De maneira análoga, um campo de vetores \(\mathbf{E} = \mathbf{E}(\mathbf{r})\) de \(\mathbb{R}^3\) em \(\mathbb{R}^3\) pode ser interpretado como um campo elétrico quando a força exercida por esse campo em uma partícula de carga \(q>0\) e posição \(\mathbf{r}\in \mathbb{R}^3\) é dada por

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r}) = q\mathbf{E}(\mathbf{r}). \]

• Um capacitor de placa paralela, por exemplo, gera um campo elétrico uniforme semelhante ao campo gravitacional uniforme.

Campo magnético agindo em partículas carregadas eletricamente

• Um campo magnético \(\mathbf{B} = \mathbf{B}(\mathbf{r})\) de \(\mathbb{R}^3\) em \(\mathbb{R}^3\) exerce uma força em uma partícula carregada eletricamente que é de uma natureza um pouco mais complicada que às anteriores.

• Sendo \(q\) a carga elétrica, \(\mathbf{r}\in \mathbb{R}^3\) a posição, e \(\mathbf{\dot r}\in \mathbb{R}^3\) a velocidade, então essa força é dada por

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) = q\mathbf{\dot r} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}). \]

• Campos magnéticos uniformes aparecem, por exemplo, em aceleradores circulares de partícula, com o plano em que as partículas circulam sendo perpendicular ao campo magnético.

Campo eletromagnético

• Um campo eletromagnético \((\mathbf{E}, \mathbf{B})\) age em uma partícula carregada eletricamente através de uma força chamada de força de Lorentz, que é dada por

\[ \mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}, t) = q(\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{\dot r}\times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)). \]

Campos conservativos

• Vamos considerar agora o caso em que as forças no sistema são conservativas, provenientes de um campo potencial escalar.

• No caso em que as forças dependem apenas da posição das partículas do sistema, um campo de forças é conservativo quando é menos o gradiente de uma função escalar, dita potencial do campo.

• Mais precisamente, \(\mathbf{F} =(\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2,\ldots, \mathbf{F}_n)\) é um campo conservativo quando existe uma função escalar \(V\), chamada de potencial do campo, tal que

\[ \mathbf{F}(t,\mathbf{r})=-\frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}}(t,\mathbf{r}), \]

onde \(\partial/\partial\mathbf{r}\) indica as derivadas parciais apenas em relação às coordenadas espaciais

\[ \mathbf{r}=(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_n). \]

• Lembramos que cada \(\mathbf{r}_i=(x_i,y_i,z_i)\) tem três coordenadas, ou seja,

\[ \frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}} = \left(\frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}_1}, \ldots, \frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}_n}\right) = \left(\frac{\partial V}{\partial x_1}, \frac{\partial V}{\partial y_1}, \frac{\partial V}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial V}{\partial x_n}, \frac{\partial V}{\partial y_n}, \frac{\partial V}{\partial z_n} \right). \]

• A força em cada partícula \(i\) tem a forma

\[ \mathbf{F}_i(t,\mathbf{r}) = - \frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}_i}(t,\mathbf{r}) = - \left(\frac{\partial V}{\partial x_i}, \frac{\partial V}{\partial y_i}, \frac{\partial V}{\partial z_i}\right). \]

Exemplos de campos conservativos

• Campo gravitacional uniforme: Em coordenadas \(xyz\), o campo gravitacional uniforme \(\mathbf{F}(x, y, z) = m\mathbf{g}\), \(\mathbf{g} = (0, 0, -g)\) possui como potencial a função escalar \(V(x,y,z) = mgz\).

• Campo gravitacional: Um sistema gravitacional de \(n\in \mathbf{N}\) corpos de massas \(m_i>0\) e posições \(\mathbf{r}_i\in \mathbb{R}^3\), \(i=1,\ldots, n\), é um sistema conservativo com potencial gravitacional

\[ \begin{align*} V(\mathbf{r}) & = -\frac{1}{2}\sum_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j,k=1, \ldots, n}{j\neq k}} \frac{Gm_jm_k}{\|\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k\|} \\ & = -\sum_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j,k=1, \ldots, n}{j< k}} \frac{Gm_jm_k}{\|\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k\|} \\ & = - \sum_{j=1}^{n-1} \sum_{k=j+1}^n \frac{Gm_jm_k}{\|\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k\|}. \end{align*} \]

• Mola harmônica: A força de restituição de uma mola harmônica ligando duas massas \(m_1\) e \(m_2\) em posições \(\mathbf{r}_1\) e \(\mathbf{r}_2\) é uma força conservativa com potencial

\[ V_{ij}(\mathbf{r}) =\frac{1}{2} \kappa(|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|-\ell_0)^2, \]

onde \(\kappa\) é o coeficiente de restituição da mola, \(\ell_0\) é o comprimento de equilíbrio da mola livre e \(\mathbf{r} = (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) \in \mathbb{R}^{6}\).

• Campo elétrico: A força elétrica que age entre dois corpos carregados eletricamente com cargas \(q_1, q_2\neq 0\) e posições \(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2\), tem a forma

\[ \mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}) = \frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j}{\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|^3}, \]

onde \(\epsilon_0\) é a constante de permissividade do meio. O potencial elétrico correspondente é costumeiramente denotado por \(\phi\), ao invés de \(V\), e tem a forma

\[ \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_iq_j}{\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|}, \]

onde \(\mathbf{r} = (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) \in \mathbb{R}^{6}\). No caso de várias partículas carregadas eletricamente, basta somar o potencial para cada par de cargas, com a mesma ressalva feita no caso gravitacional, para evitar contar cada potencial duas vezes.

Potenciais vetoriais

• Os campos magnético e eletromagnético também possuem campos potenciais, mas os seus potenciais não são mais funções escalares; são potenciais vetoriais.

• O potencial magnético é um campo vetorial \(\mathbf{A}\) cujo rotacional é igual ao campo magnético:

\[ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \mathbf{B}. \]

• No caso de um campo eletromagnético \((\mathbf{B}, \mathbf{E})\), o potencial magnético \(\mathbf{A}\) pode ser combinado com o potencial elétrico \(\phi\) visto anteriormente para nos dar o potencial eletromagnético.

• Nesse caso, o campo eletromagnético são obtidos do potencial eletromagnético por

\[ \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}, \qquad \mathbf{E} = - \boldsymbol{\nabla} \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}. \]

• Esses tipos de campos serão mais explorados na parte de Mecânica Lagrangiana.

Exercícios

1. Verifique que uma força \(\mathbf{F}(\mathbf{r})=(F_x,F_y,F_z)\in \mathbb{R}^3\) de um sistema de uma única partícula com coordenadas \(\mathbf{F}=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) é conservativo se, e somente se, o rotacional de \(\mathbf{F}(\mathbf{r})\) se anula para todo \(\mathbf{r}\in \mathbb{R}^3\), i.e.

\[ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}(\mathbf{r}) = (0,0,0), \qquad \forall\;\mathbf{r}\in \mathbb{R}^3. \]

1. Verifique que uma força \(\mathbf{F}(\mathbf{r})\in \mathbf{R}^3\) de um sistema de uma única partícula com coordenadas \(\mathbf{r}\in \mathbb{R}^3\) é conservativo se, e somente, se o trabalho

\[ \int_\gamma \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = 0, \]

ao longo de qualquer caminho fechado suave \(\gamma\) (i.e. \(\gamma\) é uma curva parametrizada suave \(\mathbf{r}:[t_0,t_1]\rightarrow \mathbb{R}^3\) com \(\mathbf{r}(t_0)=\mathbf{r}(t_1)\).)

1. Escreva o potencial gravitacional uniforme em um referencial inclinado de uma ângulo \(\alpha\), apropriado para o movimento de uma partícula deslizando sobre um plano inclinado próximo à superfície da Terra.

2. Escreva o potencial associado a três molas harmônicas, ligando cada par de uma série de três partículas de massa \(m_i\) no espaço, como em um triângulo, e onde cada mola tem um coeficiente de restituição \(k_i\) e um comprimento de equilíbrio \(\ell_i\), \(i=1,2,3\).

3. Mostre que se as forças entre duas partículas i) atuam na direção que une essas duas partículas; ii) têm sentidos contrários; iii) têm a mesma magnitude; e iv) essa magnitude dependente apenas da distância entre essas duas partículas, então esse conjunto de forças é conservativo. Mais precisamente, assuma que \(\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r})\) tem a forma

\[ \mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}) = -\varphi(\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j}{\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|}, \]

onde \(\varphi:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}\), e mostre que o potencial é dado por

\[ V_{ij}(\mathbf{r})=\psi(\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|), \]

para uma determinada função escalar \(\psi\).