2.2. Exemplos de tipos de modelagem

• empírico

• análise dimensional

• ad-hoc

• mecanicista

  • heurístico

  • fundamental

Tipos de modelagem

O processo de modelagem pode seguir vários caminhos:

• empírico: através da observação, seja de fenômenos naturais ou de experimentos controlados

• análise dimensional: baseado na análise das dimensões de quantidades envolvidas no fenômeno

• ad-hoc: introduzida sem muito fundamento e sem muita capacidade de generalização/extrapolação

• mecanicista: baseado em mecanismos envolvidos no fenômeno

  • heurístico: baseada em mecanismos qualitativos (e.g. os termos de interação entre duas espécies)

  • fundamental: baseado em relações/modelos bem estabelecidas e "precisos" (e.g. mecânica, termodinâmica, lei ação de massas)

Vale ressaltar que vários desses processos estão interligados.

Modelagem empírica, alometria e a tilápia-do-nilo

• Como exemplo de modelagem empírica, vamos considerar um problema em alometria.

• Alometria trata do estudo entre as escalas de diversos atributos de um dado organismo. Por exemplo, relação entre tamanho do coração e a idade do indivíduo, entre o comprimento e a massa de um organismo, entre sua capacidade de locomoção e o tamanho dos membros de um animal – asas, patas, pernas, barbatanas).

Tilápia-do-nilo

• A tabela abaixo mostra dados da evolução da massa e do comprimento da Tilápia-do-nilo criada em cativeiro:

Days of culture	1	20	40	60	80	100
Massa (g)	28.6±4.2	88.6±1.4	177.6±3.6	313.8±12.8	423.7±12.7	774.4±23.6
Comprimento (cm)	10.9±0.4	15.3±0.4	19.1±0.2	22.8±0.5	26.3±0.6	31.3±0.4

Fontes:

1. Gayon, J. (2000) History of the Concept of Allometry. American Zoologist 40: 748-758

2. Shingleton, A. (2010) Allometry: The Study of Biological Scaling. Nature Education Knowledge 3(10):2

3. T. S. de Castro Silva, L. D. dos Santos, L. C. R. da Silva, M. Michelato, V. R. B. Furuya, W. M. Furuya, Length-weight relationship and prediction equations of body composition for growing-finishing cage-farmed Nile tilapia, R. Bras. Zootec. vol.44 no.4 Viçosa Apr. 2015

Peso x comprimento

• Analisando os dados de comprimento e de peso da tilápia-do-nilo, obtemos a seguinte relação aproximada, que pode ser considerada um lei empírica para o seu crescimento:

\[ y = 0.0203 x^{3.0604} \]

• Diversos estudos como esse, iniciados no final do século XIX, levaram a uma lei geral de escalas entre duas quantidades \(y\) e \(x\) na forma de uma lei de potência

\[ y = bx^\alpha. \]

Análise dimensional e o período de um pêndulo

• Na análise dimensional, busca-se obter uma relação entre os parâmetros envolvidos em um determinado problema.

• Usualmente, essa analise vem embutida com uma hipótese de universalidade, assumindo que o problema só depende dos parâmetros escolhidos.

Pêndulo

• Como exemplo, considere um pêndulo com haste de comprimento \(\ell\) e massa \(m\).

• Sob a ação da força gravitacional, cuja aceleração é denotada por \(g\), o pêndulo oscila, com um período \(\tau\).

• Buscamos entender como esse período depende dos outros parâmetros.

• A fórmula obtida pode inclusive ser utilizada para se estimar um dos parâmetros em função dos outros.

Parâmetros e dimensões

• Cada sistema possui um sistema de dimensões.

• No caso de um sistema mecânico, temos as dimensões de comprimento \(L\), massa \(M\) e tempo \(T\).

• Outros sistemas podem incluir unidades de temperatura \(\Theta\), corrent elétrica \(A\), intensidade luminosa \(CD\), etc..

• Associado a isso, temos um sistema de unidades. Por exemplo, o sistema MKS utiliza as unidades de metro, quilograma e segundo para as dimensões de comprimento, massa e tempo, respectivamente, mas que não entram explicitamente na análise dimensional.

• Cada parâmetro está ligado a uma das dimensões.

• Denotamos a dimensão de uma quantidade colocando-a entre colchetes, e.g. \([m], [\ell], [g], [\tau]\).

• Assim, temos

\[ [m]=M, \quad [\ell]=L, \quad [g]=L/T^2, [\tau]=T. \]

Hipótese de universalidade e lei dimensional

• Como dito acima, a análise dimensional vem usualmente acompanhada de uma hipótese de universalidade.

• No caso do pêndulo, podemos fazer a hipótese de que o período é caracterizado apenas pela combinação dos parâmetros \(\ell\), \(m\) e \(g\), por exemplo,

\[\tau \propto m^a \ell^b g^c. \]

• Essa combinação tem dimensão

\[ [ m^a \ell^b g^c] = M^a L^b \frac{L^c}{T^{2c}}. \]

• A única possibilidade disso ser de dimensão \(T\) é com

\[ a = 0, \quad b = -c = 1/2, \qquad c = -1/2. \]

• Assim, obtemos a relação

\[ \tau \propto\sqrt{\frac{\ell}{g}}. \]

• O símbolo \(\propto\) significa que uma quantidade é diretamente proporcional à outra, ou seja é um múltiplo constante da outra: \(x \propto y\) é equivalente a \(x = ky\) para algum \(k\neq 0\).

• A constante de proporcionalidade, no entanto, não segue diretamente desssa análise.

• Além disso, desprezamos a resistência do ar, a variação na temperatura ambiente, a elasticidade da haste, o ângulo da oscilação, e outras parâmetros menos tangíveis.

• Mais adiante, veremos o Teorema de Buckinham-Pi, que formaliza mais essa análise.

Heurístico

• Em uma modelagem heurística, aproveitamos algum mecanismo qualitativo que nos parece razoável para o problema.

• Um ótimo exemplo é o de dinâmica populacional.

• Seja de um ou mais organismos, interagindo com o meio e entre si.

Dinâmica populacional de um único organismos

• Imaginemos uma situação controlada em laboratório, e.g. em um experimento em um placa de Petri.

• Seja \(x=x(t)\) é a população (e.g. número de células) de um organismo (e.g. fungo, bactéria) em função do tempo.

• O organismo pode se multiplicar de diversas maneiras (e.g. divisão celular, brotamento).

• Tipicamente, cada organismo dá origem a um ou mais novos organismos a certos intervalos de tempo.

• Quanto mais organismos em um determinado instante, proporcionalmente mais novos organismos são gerados.

• E quanto maior o tempo decorrido, proporcionalmente mais novos organismos são gerados.

• Isso nos leva a relação \(\Delta x \propto x\Delta t\).

Taxa temporal de evolução

• A relação \(\Delta x \propto x\Delta t\) é imprecisa, pois temos \(x=x(t)\) do lado direito afetando toda a evolução durante o intervalo \(\Delta t\).

• Isso não leva em consideração que, ao longo desse intervalo de tempo, pode já haver novos organismos participando de mais gerações, caso esse intervalo seja muito grande.

• Assim, é adequado considerarmos a taxa temporal de evolução, obtida tomando-se o limite quando \(\Delta t \rightarrow 0\):

\[ \frac{\text{d} x}{\text{d} t} \propto x \]

• Isso nos dá uma lei heurística para o crescimento do organismo.

Relação com lei empírica

• Observe que a solução é \(x(t) = x(0) e^{kt}\), onde \(k\) é a constante de proporcionalidade na relação anterior.

• Essa solução poderia ter sido obtida experimentalmente, medindo-se a população do organismo, para vários tipos de bactérios e fungos.

• Nesse caso, teríamos a lei empírica \(\log x(t) - \log x(0) \propto t\), válida pra qualquer organismo simples desse tipo.

• Ou mais explicitamente, \(x(t) = x(0) e^{kt}\), com \(k\) dependendo do organismo.

Ad-hoc - crescimento com limitação

• Modelagem ad-hoc é utilizada quando não temos algum mecanismo razoável para considerar algum aspecto da modelagem.

• Ela é muito utilizada em combinação com outras modelagens, para complementar alguma informação faltante.

• No caso de crescimento populacional, por exemplo, isso pode aparecer ao considerarmos que o organismo depende de nutrientes para se desenvolver e gerar novos organismos.

• Podemos imaginar situações em que essa quantidade de nutrientes é limitada, como em um placa de Petri.

• Assim, o crescimento será afetado pelo tamanho da população, com a taxa de crescimento diminuindo conforme a população aumenta.

Relação com lei empírica

• Podemos (e devemos) usar dados reais para validar o modelo ad-hoc acima.

• Mas também podemos partir dos dados e deduzir o modelo \(x'=\alpha x - \beta x^2\) através do ajuste de parâmetros.

• Dessa maneira, essa forma do modelo é considerado um ansatz.

• De acordo com o dicionário Oxford, ansatz é uma hipótese que é feita para facilitar encontrar a solução de um problema.

• Coletando dados esses dados de crescimento em situações de recursos limitados, para uma série de organismos, podemos verificar e concluir essa lei de forma empírica.

Crescimento limitado com termo quadrático

• Um hipótese comum é assumir que isso é afetado por um termo de ordem quadrática, levando-nos à equação logística:

\[ \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = \alpha x - \beta x^2 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = \alpha ( 1 - \frac{\beta}{\alpha} x) x. \]

• Observe que para \(0< x \ll \alpha/\beta\), o termo quadrático é desprezível, e obtemos o crescimento natural.

• Mas para \(x \sim \alpha/\beta\), o termo quadrático reduz consideravelmente a taxa de crescimento.

• Observe, no entanto, que isso foi uma dedução essencialmente matemática, em termos de ordem de grandeza, sem levar em consideração algum mecanismo especial. O mesmo efeito seria alcançado com qualquer potência maior \(p>1\), não necessariamente \(p=2\). Nesse sentido, foi uma escolha ad-hoc.

Fundamental

• A Mecânica Clássica é um perfeito exemplo disso.

• O modelo dado pela equação

\[ m\ddot x = F(x,\dot x) \]

vale em geral, desde que sob condições macroscópicas mas sem exageros astronômicos e em velocidades bem mais baixas do que a velocidade da luz.

• Em alguns casos, é preciso considerar a variação de massa do objeto (e.g. foguete)

• Em outras situações, os modelos de relatividade restrita, relatividade geral, mecânica quântica, entre outros, são necessários.

• Muitos modelos considerados fundamentais surgiram baseados também em análises empíricas, dimensionais, com termos ad-hoc e/ou de forma heurística, mas ganharam solidez e confirmação com o tempo.