7.4. Leis de conservação em um contexto Lagrangiano

Vamos considerar as leis de conservação a partir do Lagrangiano.
Isso tem vantagens e desvantagens. Uma desvantagem é que nesse caso estamos restritos a problemas com forças conservativas. A grande vantagem é o tratamento facilitado de problemas com vínculos.
Vamos considerar sistemas sem vínculos, em coordenadas espaciais $\mathbf{r} =(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_n)$ de $n$ partículas, com Lagrangiano

\[ L(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t). \]

E vamos considerar sistemas com vínculos, em coordenadas generalizadas $\mathbf{q}=(q_1,\ldots,q_d)$, com Lagrangiano na forma

\[ L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t). \]

Momento linear

No caso sem vínculos, temos as equações de Euler-Lagrange

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot r}}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t) - \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t) = 0. \]

No caso clássico em que $L = K - V$, o termo a seguir coincide com o momento no sentido clássico:

\[ \mathbf{p} =\frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot r}}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t). \]

E a equação de movimento pode ser escrita como

\[ \mathbf{\dot p} = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t). \]

Note que esta é uma equação no espaço $\mathbb{R}^{3n}$, onde "mora" $\mathbf{p}=(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_n)$.
Isso pode ser escrito na forma de $n$ equações em $\mathbb{R}^3$, uma para cada partícula:

\[ \mathbf{\dot p}_i = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}_i}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t). \]

Momento linear total

O momento linear total do sistema é o somatório dos momentos lineares individuais e é um elemento de $\mathbb{R}^3$:

\[ \mathbf{P} = \sum_{i=1}^n \mathbf{p}_i, \]

A equação de evolução do momento total pode ser escrita como

\[ \mathbf{\dot P} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}_i}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t). \]

Caracterização da conservação do momento linear

Para a conservação de momento linear total, $\mathbf{P}$ deve ser constante em $\mathbb{R}^3$ ao longo do tempo.
Isso quer dizer que cada coordenada dele deve ser constante.
Isso pode ser escrito através da relação

\[ \mathbf{P}(t)\cdot \mathbf{e}_k = \text{ constante,} \]

para cada $k=1,2,3$, onde $\mathbf{e}_1=(1,0,0)$, $\mathbf{e}_2=(0,1,0)$ e $\mathbf{e}_3=(0,0,1)$ formam a base canônica de $\mathbb{R}^3$.

Mais geralmente, podemos escrever a conservação de momento linear na forma

\[ \mathbf{P}(t)\cdot\mathbf{h} = \text{ constante,} \]

para qualquer vetor $\mathbf{h}\in \mathbb{R}^3$ fixo.

Simetria por translação e conservação do momento linear

Para que $\mathbf{P}(t)\cdot\mathbf{h}$ seja constante, devemos ter $\mathbf{\dot P}(t)\cdot \mathbf{h} = 0$, ou seja

\[ \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}_i}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}, t)\cdot \mathbf{h} = 0. \]

Observe que isso pode ser escrito na forma

\[ \left. \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} L(\mathbf{r}+s\mathbf{h}^n,\mathbf{\dot r},t)\right|_{s=0} = 0, \]

onde $\mathbf{h}^n = (\mathbf{h},\ldots, \mathbf{h})\in \mathbb{R}^{3n}$.

Em outras palavras, a derivada direcional de $L(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t)$ na direção $(\mathbf{h}^n,0,0)$ em $(\mathbf{r},\mathbf{\dot r},t)$ deve ser nula.
Isso acontece quando o Lagrangiano $L(\mathbf{r}+s\mathbf{h}^n,\mathbf{\dot r},t)$ é constante em $s$, ou seja, é constante quando fazemos uma translação de cada

$\mathbf{r}_i$ na direção $\mathbf{h}$, na forma $\mathbf{r}\mapsto \mathbf{r}+s\mathbf{h}^n$ (i.e. uma translação uniforme de cada coordenada $\mathbf{r}_i$).

Conclusão: se o Lagrangiano for invariante por translações de $\mathbf{r}_i$ em qualquer direção, então o momento linear total é conservado.
Pode acontecer do Lagrangiano ser invariante por translações em apenas algumas direções, como no caso de um corpo em queda livre, tomando $z$ como a direção perpendicular à superfície da Terra, de tal modo que o Lagrangiano é invariante por translações em $x$ e $y$, mas não em $z$

Conservação do momento linear no caso com vínculos

No caso de um Lagrangiano de um sistema com vínculos, escrito em coordenadas generalizadas

\[ L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t), \]

pode também acontecer de ele ser invariante por translações em apenas algumas das coordenadas generalizadas, ou seja, apenas na direção de um certo vetor $\mathbf{h}\in \mathbb{R}^d$, $\mathbf{q}\mapsto\mathbf{q}+s\mathbf{h}$.

Nesse caso, o momento generalizado associado a essas direções é conservado:

\[ \mathbf{p}\cdot\mathbf{h} = \text{ constante,} \]

onde

\[ \mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t). \]

Grupos de simetria no espaço

A translação acima, que levou à lei de conservação de momento linear, é um exemplo de grupo de transformações.
Um grupo de transformações é uma família de transformações parametrizada por um parâmetro pertencente a um grupo no sentido algébrico. Para explicar melhor isso, vamos relembrar o que é um grupo algébrico.
Um conjunto $\mathcal{G}$ é um grupo quando está munido de uma operação $\oplus:\mathcal{G}\times \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}$ com as propriedades de
1. associatividade: $(g_1\oplus g_2)\oplus g_3 = g_1\oplus (g_2\oplus g_3)$, para quaisquer $g_1,g_2,g_3\in \mathcal{G}$;
2. existência de um elemento neutro: existe $e$ tal que $g\oplus e = e\oplus g = g$ para todo $g\in \mathcal{G}$;
3. existência de elementos inversos: para cada $g\in \mathcal{G}$ existe um elemento inverso $\tilde g$ tal que $\tilde g \oplus g = g \oplus \tilde g = 0$.
Esse grupo é chamado comutativo, ou abeliano, quando possui, ainda, a propriedade de
1. comutatividade: Para quaisquer $g_1,g_2\in \mathcal{G}$, vale $g_1\oplus g_2 = g_2\oplus g_1$.
É comum explicitarmos a operação na definição de grupo escrevendo-o na forma $(\mathcal{G},\oplus)$.
Um exemplo de grupo comutativo é o de $\mathbb{R}$ munido da operação de adição.
Outro é o de reais não nulos munidos da operação de multiplicação.

Grupos de transformações

Vamos nos restringir a grupos comutativos.
Um grupo (comutativo) de transformações em um conjunto $X$ é uma família $\{G_g\}_{g\in \mathcal{G}}$ de transformações $G_g: X \rightarrow X$ em $X$, parametrizada por um parâmetro $g$ pertencente a algum grupo comutativo $\mathcal{G}$ e satisfazendo as seguintes propriedades:
1. $G_e=$ identidade em $X$, onde $e$ é o elemento identidade de $\mathcal{G}$;
2. $G_{g_1\oplus g_2} = G_{g_1}\circ G_{g_2}$, para quaisquer $g_1,g_2\in \mathcal{G}$.
O nosso interesse é partícularmente no caso $(\mathcal{G},\oplus)=(\mathbb{R},+)$, em que o grupo é simplesmente o conjunto dos números reais munido da operação de adição.
A translação das coordenadas generalizadas $\mathbf{q}\in\mathbb{R}^d$ na direção de um vetor dado $\mathbf{h}\in \mathbb{R}^d$ pode ser colocada nesse contexto de grupo de transformações definindo

\[ G_s(\mathbf{q}) = \mathbf{q}+s\mathbf{h}, \qquad \forall s\in \mathbb{R}. \]

No caso geral, denotando $\mathbf{q}_s = G_s(\mathbf{q})$, uma trajetória $\mathbf{q}(t)$ é transformada, para cada $s\in \mathcal{G}$, em uma trajetória $\mathbf{q}_s(t) = G_s(\mathbf{q}(t))$, cujo vetor velocidade é dado por

\[ \mathbf{\dot q}_s = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} G_s(\mathbf{q}(t)) = D_\mathbf{q} G_s(\mathbf{q}(t))\mathbf{\dot q}(t). \]

Nesse caso, $D_\mathbf{q} G_s(\mathbf{q})$ é o operador diferencial da transformação $\mathbf{q}\mapsto G_s(\mathbf{q})$.
No caso partícular da translação, em que $G_s(\mathbf{q})=\mathbf{h}+s\mathbf{h}$, temos que o vetor $s\mathbf{h}$ é constante em relação ao tempo, para cada $s\in\mathbb{R}$. Portanto,

\[ \mathbf{\dot q}_s = \mathbf{\dot q}. \]

De outra maneira, temos, no caso da translação, que $D_\mathbf{q} G_s(\mathbf{q})$ é o operador identidade, logo

\[ \mathbf{\dot q}_s = D_\mathbf{q} G_s(\mathbf{q}(t))\mathbf{\dot q} = \mathbf{\dot q}. \]

Simetrias do Lagrangiano

Vários sistemas físicos têm certas propriedades de simetria que podem ser identificadas através de simetrias do Lagrangiano, no sentido do Lagrangiano ser invariante por certos grupos de transformação.
Podemos pensar nessa terminologia de simetria fazendo uma analogia com a simetria naturalmente associada a objetos invariantes por reflexão em relação a um plano, por exemplo, que pode ser considerado como um grupo de transformações formado por apenas dois elementos, $\mathcal{G}=\{1,-1\}$, munido da operação de multiplicação, com $G_1=$ identidade; $G_{-1}=$ reflexão em relação ao plano em questão.
O conjunto de pontos no espaço que forma um objeto com essa simetria é invariante por aplicações das transformações $G_1$ e $G_{-1}$ nesse grupo.
No caso em que o Lagrangiano é invariante por translações, temos a transformação das variáveis generalizadas

\[(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \mapsto (\mathbf{q}_s,\mathbf{\dot q}_s,t)=(\mathbf{q}+s\mathbf{h},\mathbf{\dot q},t). \]

A condição do Lagrangiano ser invariante por translações significa que ele não se altera sob essas transformações:

\[ L(\mathbf{q}+s\mathbf{h},\mathbf{\dot q},t) = L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t), \qquad \forall s\in \mathbb{R}. \]

Isso pode ser escrito na forma de invariância pelo grupo de transformações $\{G_s\}_{s\in \mathbb{R}}$ dado por $\mathbf{q}_s=G_s(\mathbf{q})$ e $\mathbf{\dot q}_s=\mathrm{d} G_s(\mathbf{q})/\mathrm{d} t$.
Nesse caso,

\[ L(\mathbf{q}_s,\mathbf{\dot q}_s,t) = L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \text{ constante em } s\in \mathbb{R}. \]

Mais geralmente, quando um Lagrangiano $L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t)$é invariante por um grupo de transformações $\{G_s\}_{s\in \mathbb{R}}$ nas coordenadas $\mathbf{q}$ quando satisfaz

\[ L(\mathbf{q}_s,\mathbf{\dot q}_s,t), \qquad \forall s\in \mathbb{R}. \]

O efeito da simetria no Lagrangiano

Com a simetria, temos, então,

\[ L(\mathbf{q}_s,\mathbf{\dot q}_s,t) = \textrm{constante}, \quad s\in \mathbb{R}. \]

Nesse caso em que o grupo $\{G_s\}_{s\in \mathbb{R}}$ é contínuo, obtemos que

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} L(\mathbf{q}_s,\mathbf{\dot q}_s,t) = 0, \qquad \text{ em } s=0. \]

Essa derivada em relação ao parâmetro $s$ é nula para todo $s$, mas nos interessa, no final, apenas o caso em que $s = 0$. E isso nos dará uma lei de conservação.

O Teorema de Noether: simetrias e leis de conservação

O Teorema de Emmy Noether afirma que qualquer simetria diferenciável da ação de um sistema físico conservativo está associada a uma lei de conservação.
Mais precisamente, lembre-se que, sob uma simetria diferenciável como representada pela transformação $\{G_s\}_{s\in \mathbb{R}}$, temos

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} L(G_s(\mathbf{q}),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}G_s(\mathbf{q}), t) = 0. \]

Efetuando essa derivação, usando a regra da cadeia, e, em seguida, tomando $s=0$, obtemos

\[ \frac{\partial L}{\partial\mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t)\cdot \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} G_s(\mathbf{q})\right|_{s=0} +\frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \cdot \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}G_s(\mathbf{q})\right|_{s=0} = 0. \]

Observe que

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}G_s(\mathbf{q}) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} G_s(\mathbf{q}) \]

Pelas equações de Euler-Lagrange,

\[ \frac{\partial L}{\partial\mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t), \]

Assim, obtemos

\[ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t)\right) \cdot \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} G_s(\mathbf{q})\right|_{s=0} + \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \cdot \left(\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} G_s(\mathbf{q})\right|_{s=0} \right)= 0. \]

Observe agora que essa expressão é uma derivada de um produto escalar, derivada esta que é, então, nula:

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(\frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \cdot \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} G_s(\mathbf{q})\right|_{s=0} \right) = 0. \]

Portanto, esse produto escalar é constante,

\[ \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \cdot \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} G_s(\mathbf{q})\right|_{s=0} = \text{ constante em $t$.} \]

Denote

\[ \mathbf{a}(\mathbf{q}) = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} G_s(\mathbf{q})\right|_{s=0}. \]

Vemos que

\[ J(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}, t) = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \cdot \mathbf{a}(\mathbf{q}) = \text{ constante em } t. \]

Lembrando a definição do momento generalizado $\mathbf{p}$, vemos que a quantidade conservada pode ser escrita como

\[ J(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \mathbf{p}\cdot \mathbf{a}(\mathbf{q}), \qquad \mathbf{p}= \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}, t). \]

No caso de um sistema autônomo, em que $L=L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q})$ não depende explicitamente de $t$, temos a quantidade conservada escrita como

\[ J(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) \cdot \mathbf{a}(\mathbf{q}) = \mathbf{p}\cdot \mathbf{a}(\mathbf{q}) = \text{ constante em } t. \]

Revisitando o momento linear

A simetria para a conservação de momento linear está associada aos grupos de translação, por exemplo,

\[ G_s(\mathbf{q}) = \mathbf{q}+s\mathbf{h}, \qquad \forall s\in \mathbb{R}. \]

Nesse caso,

\[ \mathbf{a}(\mathbf{q}) = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} G_s(\mathbf{q})\right|_{s=0} = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} ( \mathbf{q}+s\mathbf{h} ) \right|_{s=0} = \mathbf{h}. \]

Assim, a quantidade conservada é

\[ J(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) = \mathbf{p}\cdot \mathbf{a}(\mathbf{q}) = \mathbf{p}\cdot \mathbf{h}. \]

No corpo em queda livre, as únicas translações sobre as quais o Langrangiano é invariante são as translações horizontais, ao longo dos eixos $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$. Nesse caso, podemos tomar $\mathbf{h} = \mathbf{e}_1$ e $\mathbf{h} = \mathbf{e}_2$.
Mas, digamos, no espaço, desprezando a gravidade, então $\mathbf{h}$ é arbitrário, o que significa que o próprio momento $\mathbf{p}$ é conservado.
Isso pode ser tratado de uma única vez com o grupo de translações $\{ G_{\mathbf{h}} \}_{\mathbf{h}\in \mathbb{R}^3}$ dado por $G_{\mathbf{h}}(\mathbf{q}) = \mathbf{q}+\mathbf{h}$.

Momento angular

Para a análise do momento angular, consideramos grupos de transformações associadas a rotações no espaço.
O grupo de rotações arbitrárias no espaço não é comutativo, mas podemos nos restringir a um certo subgrupo de rotações formado por rotações em torno de um eixo fixo.
Mais precisamente, dado um vetor unitário $\boldsymbol{\omega}\in \mathbb{R}^3$, consideramos o conjunto de rotações de um ângulo $\theta\in \mathbb{R}$ em torno do eixo gerado por $\boldsymbol{\omega}$ e no sentido da "regra da mão direita", com o polegar apontado no sentido de $\boldsymbol{\omega}$.
Denotemos essa rotação por $R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)$.
Podemos escrever essa rotação explicitamente na forma

\[ R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r} = (\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\boldsymbol{\omega} + (\cos\theta) (\mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\boldsymbol{\omega}) + (\sin\theta) \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}, \qquad \forall \mathbf{r}\in \mathbb{R}^3. \]

Temos, assim, o grupo de transformações $\{R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\}_{\theta\in \mathbb{R}}$ em $\mathbb{R}^3$.
Observe que, por uma questão de interpretação física, o parâmetro que denotamos anteriormente por $s$ está sendo denotado agora por $\theta$.
Se forem $n$ partículas com coordenadas $\mathbf{r} =(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_n)$, o grupo de transformações age nas coordenadas de cada partícula, i.e.

\[ R^n_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r} = (R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r}_1,\ldots,R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r}_n), \qquad \theta\in \mathbb{R}. \]

Considere, agora, um Lagrangiano $L(\mathbf{r},\mathbf{\dot r})$ invariante por

$\{R^n_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\}_{\theta\in \mathbb{R}}$, i.e.

\[ L(R^n_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} R^n_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{q}) = L(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}), \qquad \forall \;\theta\in \mathbb{R}, \]

Então a quantidade conservada é

\[ J(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot r}}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) \cdot \mathbf{a}(\mathbf{r}) \]

Sendo que, nesse caso, temos

\[ \mathbf{a}(\mathbf{r}) = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} R^n_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r} \right|_{\theta=0} \]

Explicitando a quantidade conservada

Mais exatamente, temos

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} R^n_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r} = ( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r}_1, \ldots, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r}_n) \]

Sendo que

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r}_i = \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i, \]

Logo

\[ \mathbf{a}(\mathbf{r}) = (\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_1,\ldots,\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_n). \]

Observe, ainda que

\[ \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot r}}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) = (\frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot r}_i}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}), \ldots, \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot r}_n}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r})) = (\mathbf{p}_1,\ldots, \mathbf{p}_n), \]

Portanto,

\[ J(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) =\sum_{i=1}^n \mathbf{p}_i \cdot (\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_i). \]

Usando a identidade vetorial $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})$, temos que

\[ J(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{\omega} \cdot (\mathbf{r}_i\times \mathbf{p}_i) = \boldsymbol{\omega} \cdot \left( \sum_{i=1}^n \mathbf{r}_i\times \mathbf{p}_i\right) = \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L}_0 \]

Essa é a componente, na direção $\boldsymbol{\omega}$, do momento angular $\mathbf{L}_0$ em relação à origem.
Quando o Lagrangiano é invariante por rotações em torno de qualquer eixo $\boldsymbol{\omega}$, então o vetor momento angular total é conservado:

\[ \mathbf{L}_0 = \sum_{i=1}^n \mathbf{r}_i\times \mathbf{p}_i \]

Fizemos isso para rotações em torno de eixos passando pela origem. É possível aplicar essas idéias para deduzir que, nos casos apropriados, o vetor momento angular em relação ao centro de massa também é conservado.

Translações temporais e energia total

Deduzimos a conservação de energia a partir das equações de Newton no caso de forças autônomas conservativas e sem vínculo.
Na modelagem Lagrangiana, nessa mesma situação, o Lagrangiano também é independente do tempo.
Podemos interpretar essa independência em relação ao tempo como uma simetria em relação a translações temporais.
Dessa simetria, segue uma lei de conservação correspondente.
Nesse caso, sem vínculos, temos a lei de conservação de energia. Mas o raciocínio também se aplica a Lagrangianos com vínculo, desde que o Lagrangiano seja independente do tempo. Nesse caso com vínculos, no entanto, nem sempre a quantidade conservada é exatamente a energia total, dada pela energia cinética mais a energia potencial.

Balanço de energia

Consideremos primeiro um Lagrangiano qualquer, em coordenadas generalizadas $\mathbf{q}=(q_1,\ldots,q_d)$,

\[ L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}, t). \]

Derivando o Lagrangiano em relação ao tempo, ao longo de uma solução do sistema, obtemos

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t)\cdot \mathbf{\dot q} + \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}, t) \cdot\mathbf{\ddot q} + \frac{\partial L}{\partial t}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \]

Das equações de Euler-Lagrange, temos que

\[ \frac{\partial L}{\partial\mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t), \]

Logo,

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \cdot \mathbf{\dot q} + \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}, t) \cdot\mathbf{\ddot q} + \frac{\partial L}{\partial t}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t). \]

Observe que os dois primeiros termos do lado direito são uma derivada temporal de um produto escalar,

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \cdot \mathbf{\dot q} + \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}, t) \cdot\mathbf{\ddot q} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t)\cdot\mathbf{\dot q}\right). \]

Reordenando os termos, obtemos

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t)\cdot\mathbf{\dot q} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) \right) = - \frac{\partial L}{\partial t}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t). \]

Definimos

\[ h(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t)\cdot\mathbf{\dot q} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t). \]

Podemos escrever o balanço de energia

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} h(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = - \frac{\partial L}{\partial t}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t). \]

Conservação de energia

Agora, no caso em que o Lagrangiano não depende explicitamente da variável temporal $t$, a derivada que aparece no lado direito da expressão acima é nula, enquanto que $h=h(\mathbf{q},\mathbf{\dot q})$ fica sendo apenas função de $\mathbf{q}$ e $\mathbf{\dot q}$:

\[ h(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot q}}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q})\cdot\mathbf{\dot q} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}). \]

Nesse caso, obtemos

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} h(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) = 0, \]

Portanto, essa quantidade é conservada:

\[ h(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) = \text{ constante em } t. \]

Nesse caso de um Lagrangiano independente de $t$, essa quantidade conservada $h(\mathbf{q},\mathbf{\dot q})$ é chamada de integral de Jacobi.
No caso de um sistema sem vínculos com Lagrangiano $L(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) = K(\mathbf{\dot r}) - V(\mathbf{r}),$ a integral de Jacobi coincide com a energia total do sistema:

\[ h(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) = 2K(\mathbf{\dot r}) - (K(\mathbf{\dot r}) - V(\mathbf{r})) = K(\mathbf{\dot r}) + V(\mathbf{r}) = E(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}). \]

Em alguns casos de sistemas com vínculos, a integral de Jacobi também coincide com a energia total, mas este não é o caso geral. Um caso notável é o do pêndulo girante.

Exercícios

Considere um sistema sem vínculos, $L(\mathbf{r},\mathbf{\dot r})=K(\mathbf{\dot r}) - V(\mathbf{r})$, de duas partículas em $\mathbf{r}=(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)$ e cujo potencial depende apenas da posição relativa entre essas partículas, i.e $V=V(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)$. Mostre que $L(\mathbf{r}, \mathbf{\dot r})$ é invariante por translações de ambas as partículas, em qualquer direção $\mathbf{h}\in \mathbb{R}^3$, $(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)\mapsto (\mathbf{r}_1+s\mathbf{h},\mathbf{r}_2+s\mathbf{h})$. Conclua que o momento total $\mathbf{P} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2$ é conservado, onde $\mathbf{p}_k =\partial L/\partial\mathbf{\dot r}_k$.
Considere agora um problema de $n$ partículas com $r$ vínculos e onde os vínculos são tratados implicitamentes, $\boldsymbol{\Phi}(\mathbf{r}) = 0$, onde $\boldsymbol{\Phi}:\mathbb{R}^{3n} \rightarrow \mathbb{R}^r$. Podemos tratar esse sistema através do Lagrangiano (pense em múltiplicadores de Lagrange no fato de buscarmos um mínimo da ação)

\[ L(\mathbf{r},\boldsymbol{\lambda},\mathbf{\dot r}) = K(\mathbf{\dot r}) - V(\mathbf{r}) + \boldsymbol{\lambda}\cdot\boldsymbol{\Phi}(\mathbf{r}), \]

onde $\boldsymbol{\lambda}\in \mathbb{R}^r$. Suponha que tanto $V(\mathbf{r})$ como $\boldsymbol{\Phi}(\mathbf{r})$ dependem apenas das posições relativas entre pares de partículas. Conclua que o momento total $\mathbf{P} = \sum_{i=1}^n \mathbf{p}_i$ é conservado, onde $\mathbf{p}_i=\partial L/\partial\mathbf{\dot r}_i$. (Pode ser útil começar com o caso mais simples de $n=2$ e $r=1$.)

Considere um Lagrangiano $L(\mathbf{r},\mathbf{\dot r})$ e um vínculo escrito na forma implícita $\Phi(\mathbf{r})=0$. Suponha que ambos sejam invariantes por um grupo de transformações $\{G_s\}_{s\in\mathbb{R}}$, i.e. $L(\mathbf{r}_s,\mathbf{\dot r}_s) = L(\mathbf{r},\mathbf{\dot r})$ e $\Phi(\mathbf{r}_s)=\Phi(\mathbf{r})$, para todo $s\in \mathbb{R}$, onde $\mathbf{r}_s=G_s(\mathbf{r})$ e $\mathbf{\dot r}_s= \mathrm{d} G_s(\mathbf{r})/\mathrm{d} t$. Considere o Lagrangiano $L_\Phi(\mathbf{r},\lambda,\mathbf{\dot r})$ do sistema com vínculo implícito. Mostre que nesse caso também vale a lei de conservação

\[ J(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) = \frac{\partial L}{\partial\mathbf{\dot r}}(\mathbf{r},\mathbf{\dot r})\cdot \mathbf{a}(\mathbf{r}) = \text{ constante em } t, \]

onde $\mathbf{a}(\mathbf{r})= \mathrm{d} G_s(\mathbf{r})/\mathrm{d} s$, como antes.

Mostre que dado um vetor unitário $\boldsymbol{\omega}\in \mathbb{R}^3$ e um vetor qualquer $\mathbf{r}$ que não seja colinear a $\boldsymbol{\omega}$, o conjunto de

vetores

\[ \left\{\frac{\mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\boldsymbol{\omega}}{\|\mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\boldsymbol{\omega}\|}, \frac{\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\boldsymbol{\omega}\|}, \boldsymbol{\omega}\right\} \]

forma uma base ortonormal de $\mathbb{R}^3$. Chamando essa base de $\epsilon$, observe que $\mathbf{r}$ pode ser representado nessa base simplesmente por

\[ [\mathbf{r}]_\epsilon = (\|\mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\boldsymbol{\omega}\|,0,\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega}). \]

Nesse base, também podemos representar o operator rotação $R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)$ por

\[ [R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)]_\epsilon = \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]. \]

Assim,

\[ [R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r}]_\epsilon = [R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)]_\epsilon[\mathbf{r}]_\epsilon = (\cos\theta\|\mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\boldsymbol{\omega}\|, \sin\theta\|\mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r})\boldsymbol{\omega}\|, \mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega}). \]

Conclua, finalmente, que, de fato,

Continuando o exercício acima, mostre que

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} R_{\boldsymbol{\omega}}(\theta)\mathbf{r} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}. \]

Ache a integral de Jacobi nos seguintes casos e verifique se ela coincide com a energia total.
1. Corpo em queda livre sob a atração gravitacional uniforme perto da superfície da Terra;
2. Pêndulo planar;
3. Pêndulo girante;
4. Sistema massa-mola harmônica unidimensional;
5. Sistema massa-mola harmônica planar sob a ação gravitacional uniforme;
6. Sistema planar de dois corpos celestes sob a atração gravitacional;
7. Um corpo de massa $m$ deslizando sobre uma curva $z=h(x)$, $y=0$, sob a atração gravitacional uniforme $\mathbf{F} =(0,0,-mg)$.
Considere o sistema de três corpos planar restrito, utilizando coordenadas polares em um sistema de coordenadas girante. Mais precisamente, temos dois corpos celestes $T$ e $L$ com massas $M_T$ e $M_L$, e com $L$ em órbita circular em torno de $T$. Colocando $T$ no centro de referência e o a órbita circular no plano $xy$, temos as coordenadas de cada um deles dadas por $\mathbf{r}_T=(0,0,0)$ e $\mathbf{r}_L=(R\cos(\omega t), R\sin(\omega T),0)$, onde $R$ é o raio da órbita e $\omega$ é a freqüência de oscilação da órbita ($2\pi/$período). O terceiro corpo é um "satélite", no sentido de ter uma massa $m\ll M_T,M_L$, desprezível em relação à massa dos outros dois corpos, portanto não influenciando o movimento deles. Além disso, assumimos que esse terceiro corpo se movimento no mesmo plano da órbita de $L$ em torno de $T$. Como coordenadas generalizadas, podemos utilizar as coordenadas polares $(r,\theta)$, onde $\theta$ indica o ângulo entre o vetor posição $\mathbf{r}$ do satélite e o vetor posição $\mathbf{r}_L$ do corpo $L$. O referencial $(r,\theta)$ não é inercial. O referencial "girante" $(x', y')=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ também não é inercial. mas no referencial inercial $xyz$ podemos escrever a posição do satélite em termos das coordenadas generalizadas $(r,\theta)$ através de $\mathbf{r}=(r\cos(\theta+\omega t),r\sin(\theta+\omega t))$.
1. Escreva o Lagrangiano $L(r,\theta,\dot r,\dot\theta)$ desse sistema;
2. Ache os momentos generalizados $p_r$ e $p_\theta$ e verifique se eles são conservados ou não;
3. Ache a integral de Jacobi e diga se ela é invariante ou não.
4. Verifique se a integral de Jacobi coincide com a energia total (cinética + potencial) do sistema.

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