7.5. Hamiltonianos

• As equações de Euler-Lagrange formam um sistema de equações de segunda ordem.

• Em várias situações, como visto em Equações Diferenciais, pode ser útil trabalhar com um sistema de equações de primeira ordem.

• Vamos ver, aqui, como transformar as equações de Euler-Lagrange em um sistema de equações de primeira ordem na forma de um sistema de um tipo partícular chamado de sistema hamiltoniano.

Obtendo o Hamiltoniano no caso de um grau de liberdade

• Um sistema hamiltoniano bidimensional é da forma

\[ \begin{cases} \displaystyle \dot q = \frac{\partial H}{\partial p}(q,p), \\ \displaystyle \dot p = - \frac{\partial H}{\partial q}(q,p), \end{cases} \]

• Nesse sistema, \(H=H(p,q)\) é o Hamiltoniano do sistema.

• Em um sistema dessa forma, o hamiltoniano é conservado ao longo do movimento, ou seja, dada uma solução \((q(t),p(t))\) do sistema, temos

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} H(q(t),p(t)) = \frac{\partial H}{\partial q} \dot q + \frac{\partial H}{\partial p}\dot p = \frac{\partial H}{\partial q} \left( \frac{\partial H}{\partial p}\right) + \frac{\partial H}{\partial p}\left(- \frac{\partial H}{\partial q}\right) = 0. \]

Forma compacta de se escrever o sistema Hamiltoniano

• Uma forma mais compacta de escrever um sistema Hamiltoniano faz uso do gradiente de \(H(q,p)\) e de uma matriz antisimétrica \(J\), dados por

\[ \nabla H(q,p) = \left( \frac{\partial H}{\partial q}(q,p), \frac{\partial H}{\partial p}(q,p) \right), \qquad J = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right]. \]

• Assim, podemos escrever

\[ (\dot q,\dot p) = J \nabla H(q,p). \]

• Observe que o operador \(J:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) leva um vetor em um outro vetor perpendicular ao original. Dessa forma, o sistema indica que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor gradiente e, portanto, tangente à curva de nível do hamiltoniano, dando uma interpretação geométrica para o fato mostrado acima de que o hamiltoniano é conservado ao longo do movimento.

Hamiltoniano a partir da integral de Jacobi

• Em vários exemplos o hamiltoniano é essencialmente a energia total do sistema. Mas nem sempre.

• Em geral, partindo de uma formulação Lagrangiana de um problema com um grau de liberdade, onde conhecemos o Lagrangiano \(L(q,\dot q)\), é natural procurarmos o Hamiltoniano como sendo a integral de Jacobi do sistema, que é uma quantidade conservada, nesse caso de invariância temporal do Lagrangiano.

• A integral de Jacobi tem a forma

\[ h(q,\dot q) = \dot q \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q,\dot q)- L(q,\dot q). \]

• Considere o momento generalizado

\[ p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q,\dot q) \]

• Usando o momento generalizado como uma nova variável dependente, no lugar da velocidade generalizada \(\dot q\), procuramos inverter a relação acima e escrever \(\dot q\) em função de \(q\) e \(p\):

\[ \dot q = \dot q(q,p). \]

• Assim, obtemos o Hamiltoniano

\[ H(q,p) = p\dot q(q,p) - L(q,\dot q(q,p)). \]

• Temos

\[ \begin{align*} \frac{\partial H}{\partial p}(q,p) & = \dot q(q,p) + p\frac{\partial \dot q}{\partial p}(q,p) - \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q,\dot q(q,p))\frac{\partial \dot q}{\partial p}(q,p) \\ & = \dot q + p\frac{\partial \dot q}{\partial p}(q,p) - p\frac{\partial \dot q}{\partial p}(q,p) \\ & = \dot q. \end{align*} \]

• Usando as equações de Euler-Lagrange,

\[ \begin{align*} \frac{\partial H}{\partial q}(q,p) & = p\frac{\partial \dot q}{\partial q}(q,p) - \frac{\partial L}{\partial q}(q,\dot q(q,p)) - \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q,\dot q(q,p))\frac{\partial \dot q}{\partial q}(q,p) \\ & = p\frac{\partial \dot q}{\partial q}(q,p) - \frac{\partial L}{\partial q}(q,\dot q(q,p)) - p\frac{\partial \dot q}{\partial q}(q,p) \\ & = - \frac{\partial L}{\partial q}(q,\dot q(q,p)) \\ & = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q,\dot q(q,p)) \\ & = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} p \\ & = - \dot p. \end{align*} \]

• Logo, chegamos ao sistema hamiltoniano

\[ \begin{cases} \displaystyle \dot q = \frac{\partial H}{\partial p}(q,p), \\ \displaystyle \dot p = - \frac{\partial H}{\partial q}(q,p). \end{cases} \]

• Esse sistema é também chamado de equações de Hamilton.

Exemplo do pêndulo planar

• Como exemplo, vamos considerar o Lagrangiano associado ao pêndulo planar, cujo Lagrangiano é

\[ L(\theta,\dot\theta) = \frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta. \]

• Seja \(\psi\) o momento conjugado à coordenada generalizada \(\theta\), que nesse

caso é o momento angular do sistema, e é dado por

\[ \psi = \frac{\partial L}{\partial \dot\theta}(\theta,\dot\theta) = m\ell^2\dot\theta \]

• Invertendo essa relação, temos

\[ \dot\theta = \dot\theta(\psi) = \frac{1}{m\ell^2}\psi. \]

• A integral de Jacobi é

\[ h(\theta,\dot\theta) = \dot\theta\psi - L(\theta,\dot\theta). \]

• Substituindo \(\dot\theta\) por \(\dot\theta(\psi)= \psi/m\ell^2\), obtemos o Hamiltoniano

\[ H(\theta,\psi) = \frac{1}{2m\ell^2}\psi^2 -mg\ell\cos\theta. \]

• E as equações de Hamilton tomam a forma conhecida do sistema de primeira ordem para o pêndulo simples.

\[ \begin{cases} \displaystyle \dot \theta = \frac{1}{m\ell^2}\psi, \\ \displaystyle \dot \psi = -mg\ell\sin\theta. \end{cases} \]

Obtendo o Hamiltoniano no caso de vários graus de liberdade

• A idéia é a mesma. Partimos de um Lagrangiano de um sistema com coordenadas generalizadas \(\mathbf{q}\in \mathbb{R}^d\), \(d\in \mathbb{N}\),

\[ L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}). \]

• Temos a integral de Jacobi, onde, novamente, \(\mathbf{p}\) é o momento generalizado do sistema:

\[ h(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) = \mathbf{\dot q}\cdot\mathbf{p} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}), \qquad \mathbf{p} = \nabla_{\mathbf{\dot q}} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) \]

• Em certos casos, podemos inverter a relação acima e escrever a velocidade generalizada em termos do momento generalizado (e das coordenadas generalizadas),

\[ \mathbf{\dot q} = \mathbf{\dot q}(\mathbf{q},\mathbf{p}). \]

• Assim, o Hamiltoniano é dado por

\[ H(\mathbf{q},\mathbf{p}) =\mathbf{p}\cdot\mathbf{\dot q}(\mathbf{q},\mathbf{p}) - L(\mathbf{q},V(\mathbf{q},\mathbf{p}). \]

• Como no caso de um grau de liberdade, temos o sistema Hamiltoniano (ou equações de Hamilton)

\[ \begin{cases} \displaystyle\mathbf{\dot q} = \frac{\partial H}{\partial\mathbf{p}}(\mathbf{q},\mathbf{p}), \\ \displaystyle \mathbf{\dot p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{p}), \end{cases} \]

• Nesse sistema,

\[ \begin{align*} \frac{\partial H}{\partial\mathbf{p}}(\mathbf{q},\mathbf{p}) & = \frac{\partial H}{\partial\mathbf{p}}(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \left(\frac{\partial H}{\partial p_1}(\mathbf{q},\mathbf{p}), \ldots, \frac{\partial H}{\partial p_d}(\mathbf{q},\mathbf{p})\right), \\ \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{p}) & = \frac{\partial H}{\partial\mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \left(\frac{\partial H}{\partial q_1}(\mathbf{q},\mathbf{p}), \ldots, \frac{\partial H}{\partial q_d}(\mathbf{q},\mathbf{p})\right). \end{align*} \]

Obtendo o Lagrangiano a partir do Hamiltoniano

• Dado um Lagrangiano \(L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q})\), vimos como obter o Hamiltoniano a partir da relação

\[ H(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \mathbf{\dot q}\cdot\mathbf{p} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}), \qquad \mathbf{\dot q} = \mathbf{\dot q}(\mathbf{q},\mathbf{p}), \]

• Nessa relação, \(\mathbf{\dot q} = \mathbf{\dot q}(\mathbf{q},\mathbf{p})\) é solução de

\[\mathbf{p} = \nabla_{\mathbf{\dot q}} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}). \]

• De maneira inversa, podemos obter o Lagrangiano a partir de um Hamiltoniano \(H(\mathbf{q},\mathbf{p})\) reescrevendo a relação acima na forma

\[ L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) = \mathbf{\dot q}\cdot\mathbf{p} - H(\mathbf{q},\mathbf{p}), \qquad\mathbf{p}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) \]

• Nesse caso, \(\mathbf{p} = \mathbf{P}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q})\) é solução da segunda equação do sistema Hamiltoniano,

\[ \mathbf{\dot p} = - \frac{\partial H}{\partial\mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{p}). \]

Obtendo o Lagrangiano do Hamiltoniano no caso do pêndulo planar

• No caso do pêndulo planar, vimos que o Hamiltoniano é

\[ H(\theta,\psi) = \frac{1}{2m\ell^2}\psi^2 - mg\ell\cos\theta. \]

• A velocidade angular é dada pela primeira equação de Hamilton,

\[ \dot\theta = \frac{\partial H}{\partial \psi}(\theta,\psi) = \frac{1}{m\ell^2}\psi, \]

• A sua inversa nos dá o momento angular em termos da velocidade angular:

\[ \psi = m\ell^2\dot\theta. \]

• Substituindo essa relação na fórmula para o Lagrangiano a partir do Hamiltoniano, obtemos

\[ \begin{align*} L(\theta,\dot\theta) & = \dot\theta\psi - H(\theta,\psi) \\ & = m\ell^2 \dot\theta^2 - \left(\frac{1}{2m\ell^2}(m\ell^2\dot\theta)^2 - mg\ell\cos\theta\right) \\ & = \frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta, \end{align*} \]

• Recuperamos, assim, o Lagrangiano desse sistema.

Sistemas não-autônomos

• Mesmo no caso não-autônomo, em que o Lagrangiano depende também da variável temporal, podemos obter um sistema na forma Hamiltoniana.

• De fato, considere um Lagrangiano

\[ L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t). \]

• Temos

\[ \begin{cases} \displaystyle\mathbf{\dot q} = \frac{\partial H}{\partial\mathbf{p}}(\mathbf{q},\mathbf{p},t), \\ \displaystyle \mathbf{\dot p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{p},t), \end{cases} \]

• A diferença, agora, é que o Hamiltoniano também depende da variável temporal, sendo da forma

\[ H(\mathbf{q},\mathbf{p},t). \]

• É fundamental notar que, nesse caso, o Hamiltoniano não é conservado, e a sua variação temporal ao longo de uma solução é dada por

\[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} H(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t) = \frac{\partial H}{\partial t}(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t). \]

• As relações entre o Lagrangiano e o Hamiltoniano são como no caso

autônomo.

Transformada de Legendre

• Vamos considerar o caso de apenas um grau de liberdade, para simplificar, ou seja, com

\[ \mathbf{q}=q\in \mathbb{R}, \qquad \mathbf{\dot q} = \dot q, \qquad \mathbf{p} = p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q,\dot q). \]

A transformada de Legendre relacionando Lagrangiano e Hamiltoniano

• Observe que, considerando \(q\) como um parâmetro e esquecendo por um momento a dependência do Lagrangiano e do Hamiltoniano em \(q\), a transformação entre essas funções pode ser escrita na forma

\[ H(p) = pq - L(\dot q), \qquad \text{ onde } \dot q = \dot q(p) \text{ é a inversa de } p=\frac{\partial L(\dot q)}{\partial \dot q}. \]

• Trocando a notação, podemos escrever a seguinte transformação:

\[ g^*(s) = sr - g(r), \qquad \text{ onde } r=r(s) \text{ é a inversa de } s=g'(r). \]

• Essa transformação está bem definida para \(s\in \mathbb{R}\) desde que \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) seja diferenciável e \(g':\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) seja invertível.

• Veremos, a seguir, que, sob certas condições, \(g^*\) pode ser escrito como

\[ g^*(s) = \max_{r\in \mathbb{R}} \left\{ sr - g(r) \right\}. \]

• A operação acima que leva \(g\) em \(g*\) é chamada de Transformada de Legendre.

• O Hamiltoniano é, em certo sentido, a transformada de Legendre do Lagrangiano.

• E vice-versa!

Reescrevendo a transformada de Legendre

• Note, agora, como mencionado acima, que, formalmente, a transformação \(g^*(s) = sr - g(r),\) onde \(r=r(s)\) é a inversa de \(s=g'(r),\) pode ser escrita como

\[ g^*(s) = \max_{r\in \mathbb{R}} \left\{ sr - g(r) \right\}. \]

• De fato, o máximo, sob certas condições, é atingido quando

\[ \frac{\partial}{\partial r} \left\{ sr - g(r) \right\} = s - g'(r) = 0, \]

• Ou seja, quando \(r\) é tal que \(s = g'(r).\)

• No caso em que esse máximo existe e é único, isso define a função \(r=r(s)\) que é inversa de \(g'\).

• Por outro lado, para essa última definição fazer sentido, não é necessário nem que \(g\) seja diferenciável.

• Podemos assumir que \(g\) é contínua e com crescimento superlinear, i.e.

\[ \frac{g(r)}{|r|} \rightarrow \infty, \qquad \text{quando } |r|\rightarrow \infty. \]

• Esse crescimento implica em \(sr-g(r)\) ser limitada superiormente em relação a \(r,\) para todo \(s\in\mathbb{R}\) fixo e, com isso, que o supremo de \(sr-g(r)\) em \(r\) seja limitado. E a continuidade implica que esse supremo é um máximo.

• Vejam, nos exercícios, condições para que \(g^*\) seja contínua e com crescimento superlinear e, com isso, que a transformada de Legendre possa ser aplicada em \(g^*,\) nos dando uma função \(g^{**}.\) E, ainda, que \(g^{**}\) concide com \(g\).

Exercícios

1. Ache o Hamiltoniano e as equações de Hamilton nos seguintes casos:

   1. Corpo em queda livre, com o seguinte Lagrangiano, onde \(m,g>0\):

\[ L(h,\dot h) = \frac{1}{2}m\dot h^2 + mgh. \]

1. Corpo deslizando em um plano inclinado, com o seguinte Lagrangiano, onde \(m,g>0\), \(\alpha\in \mathbb{R}\):

\[ L(x,\dot x) = \frac{1}{2}m\dot x^2\sec^2\alpha + mg x\tan\alpha, \]

1. Sistema massa-mola, com o seguinte Lagrangiano, onde \(m,k>0\):

\[ L(x,\dot x) = \frac{1}{2} m \dot x^2 + \frac{1}{2} k x^2, \]

1. Ache o Hamiltoniano no caso de um pêndulo girante, cujo Lagrangiano é

\[ L(\varphi,\dot\varphi) = \frac{1}{2}m\ell^2(\dot\varphi^2 + \omega\sin^2\varphi) + mg\ell\cos\varphi, \]

onde \(m,g,\ell>0\), \(\omega\in \mathbb{R}\), e verifique que as equações de Hamilton desse sistema tomam a forma

\[ \begin{cases} \displaystyle \dot \varphi = \frac{1}{m\ell^2}\psi, \\ \displaystyle \dot \psi = 2\omega^2\sin\varphi\cos\varphi --mg\ell\sin\varphi. \end{cases} \]

Exercícios - parte 1

1. Analogamente ao caso bidimensional, ache uma matriz antisimétrica \(\mathbf{J}\in \mathbb{R}^{2d \times 2d}\) tal que um sistema Hamiltoniano em \(\mathbb{R}^{2d}\) pode ser escrito na forma

\[ (\mathbf{\dot q}, \mathbf{\dot p}) = \mathbf{J} \boldsymbol{\nabla} H(\mathbf{q},\mathbf{p}), \]

onde \(\boldsymbol{\nabla} H(\mathbf{q},\mathbf{p}) = (\boldsymbol{\nabla}_\mathbf{q} H(\mathbf{q},\mathbf{p}),\boldsymbol{\nabla}_\mathbf{p} H(\mathbf{q},\mathbf{p}))\) é o gradiente de \(H(\mathbf{q},\mathbf{p})\).

1. Verifique, nesse caso de vários graus de liberdade, que as soluções da equações de Euler-Lagrange de um Lagrangiano \(L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q})\) satisfazem as equações de Hamilton

\[ \begin{cases} \displaystyle\mathbf{\dot q} = \frac{\partial H}{\partial\mathbf{p}}(\mathbf{q},\mathbf{p}), \\ \displaystyle \mathbf{\dot p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{p}), \end{cases} \]

para o Hamiltoniano \(H(\mathbf{q},\mathbf{p})\) correspondente.

1. Considere o problema de três corpos planar restrito circular, em que um corpo celeste \(L\) com massa \(M_L>0\) gira em movimento circular com freqüência constante \(\omega>0\) em torno de um outro corpo celeste \(T\) de massa \(M_T>0\), e um satélite de massa \(m\ll M_L,M_T\) muito menor que a dos dois corpos se movimenta sob a atração gravitacional desses corpos. Considerando um referencial girante centrado em \(T\) e acompanhando a rotação de \(L\) em torno de \(T\), o Lagrangiano para o movimento do satélite pode ser escrito na forma polar

\[ L(r,\theta,\dot r,\dot \theta) = \frac{1}{2} m \dot r^2 + \frac{1}{2} m r^2 (\omega+\dot\theta) + G \frac{mM_T}{r} + G\frac{mM_L}{\sqrt{r^2+R^2 -2rR}}. \]

Obtenha o Hamiltoniano desse sistema e verifique que o sistema hamiltoniano associado pode ser escrito na forma

\[ \begin{cases} \displaystyle \dot r = \frac{p_r}{m}, \\ \displaystyle \dot \theta = \frac{p_\theta}{mr^2} - \omega, \\ \displaystyle \dot p_r = \frac{p_\theta}{r} - G\frac{mM_T}{r^2} - 2G(r-R)\frac{mM_L}{\sqrt{r^2+R^2 -2rR}}, \\ \displaystyle \dot p_\theta = 0, \end{cases} \]

onde \(p_r\) e \(p_\theta\) são os momentos conjugados às coordenadas generalizadas \(r\) e \(\theta\), respectivamente.

1. Ache o Hamiltoniano e as equações de Hamilton de um problema

de dois pêndulos co-planares com a mesma massa \(m>0\) e hastes de mesmo comprimento \(\ell>0\).

Exercícios - parte 2

1. Nos problemas das seções anteriores, faça o caminho inverso, obtendo o Lagrangiano a partir do Hamiltoniano, conforme descrito acima.

Exercícios - parte 3

1. Mostre, nesse caso não-autônomo, que o Hamiltoniano obtido da relação

\[ H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \mathbf{\dot q}\cdot\mathbf{p} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t), \qquad \mathbf{\dot q} =\mathbf{\dot q}(\mathbf{q},\mathbf{p},t), \]

onde \(\mathbf{\dot q} = \mathbf{\dot q}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) é solução de

\[\mathbf{p} = \nabla_{\mathbf{\dot q}} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t), \]

leva as equações de Euler-Lagrange no sistema hamiltoniano

\[ \begin{cases} \displaystyle\mathbf{\dot q} = \frac{\partial H}{\partial\mathbf{p}}(\mathbf{q},\mathbf{p},t), \\ \displaystyle \mathbf{\dot p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}(\mathbf{q},\mathbf{p},t), \end{cases} \]

1. Mostre que nesse caso não-autônomo o Hamiltoniano satisfaz

\[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} H(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t) = \frac{\partial H}{\partial t}(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t). \]

1. Mostre o Lagrangiano \(L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t)\) associado a um Hamiltoniano

\(H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) pode ser recuperado através das relações

\[ L(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) = \mathbf{\dot q}\cdot\mathbf{p} - H(\mathbf{q},\mathbf{p}), \qquad\mathbf{p}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q}) \]

onde \(\mathbf{p} = \mathbf{P}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q})\) é solução da primeira equação do sistema Hamiltoniano,

\[ \mathbf{\dot q} = \frac{\partial H}{\partial\mathbf{p}}(\mathbf{q},\mathbf{p}). \]

1. Considere o Lagrangiano

\[ L(\theta,\dot\theta,t) = m\ell\omega\dot\theta\cos\omega t\cos\theta + \frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta \]

associado a um pêndulo planar cuja haste fixa está sujeita a um movimento periódico com freqüência \(\omega\in \mathbb{R}\). Obtenha o Hamiltoniano correspondente.

Exercícios - parte 4

1. Seja \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) contínua com crescimento superlinear e considere a sua transformada de Legendre

\[ g^*(s)= \max_{r\in \mathbb{R}}\{sr - g(r)\}. \]

a) Mostre que \(g^*:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) está bem definida. b) Mostre que \(g^*\) é contínua em \(\mathbb{R}\). c) Mostre que \(g^*\) é coerciva. d) Mostre que se \(g\) é convexa, então \(g^*\) é convexa. e) Mostre que a segunda transformada \(g^{**}\) de Legendre de \(g\) está bem definida, onde

\[ g^{**}(r) = \max_{s\in \mathbb{R}} \{rs-g^*(s)\}, \]

f) Mostre que se \(g\) é estritamente convexa, então a segunda transformada de Legendre de \(g\) coincide com a função original, ou seja, \(g^{**} =g\). g) Suponha que \(g\) seja continuamente diferenciável e com \(g': \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) invertível. Mostre que \(g^*\) pode ser escrito na forma

\[ g^*(s) = sr(s) - g(r(s)), \]

para todo \(s\in \mathbb{R}\), onde \(r(s)\) é o único número real \(r\) tal que \(s=g'(r)\). De outra forma,

\[ g^*(s) = s(g')^{-1}(s) - g((g')^{-1}(s)). \]

h) Seja \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) duas vezes continuamente diferenciável e tal que a sua derivada \(g':\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) é bijetiva. Para \(s\in \mathbb{R}\), considere \(h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) dada por

\[ h(s) = -g(0) + \int_{g'(0)}^s (g')^{-1}(\xi)\;\mathrm{d}\xi. \]

Usando a substituição de variáveis \(\xi=g'(\eta)\) e integração por partes mostre que \(h(s)=rs-g(r)\) onde \(r\) é tal que \(s=g'(r)\), i.e. \(h\) é a transformada de Legendre de \(g\).