3.2. Análise dimensional e o Teorema de Buckingham-Pi

• Análise dimensional

• Formalização via Teorema de Buckinham-Pi.

Princípio da homogeneidade dimensional

• Temos um princípio físico fundamental para a análise dimensional, que geralmente é enunciado por: "Não podemos somar maças e laranjas" ("We can't add apples and oranges"), mas que pode ser mais formalmente expresso como

Se uma equação expressa verdadeiramente uma relação adequada entre variáveis em um processo físico, ela será dimensionalmente homogênea; isto é, todos os seus termos aditivos terão a mesma dimensão.

Exemplo do princípio de homogeneidade dimensional

• Por exemplo, no problema clássico de um corpo em queda livre ideal, temos a seguinte relação entre a altura \(h\) do objeto no instante \(t\), a sua altura inicial \(h_0\), a sua velocidade inicial \(v_0\) e a aceleração da gravidade \(g\):

\[ h = h_0 + v_0 t + \frac{g}{2}t^2. \]

Observe que

\[ [h] = [h_0] = L, \quad [v_0] = L T^{-1}, \quad [t] = T, \quad [g] = LT^{-2} \]

de forma que

\[ [h] = [h_0] = L, \quad [v_0 t] = [v_0][t] = L T^{-1} T = L, \quad \left[\frac{g}{2}t^2\right] = [g][t]^2 = LT^{-2}T^2 = L, \]

ou seja, todos os termos aditivos tem a mesma dimensão \(L\) de comprimento.

Outra visão desse exemplo

• Também podemos olhar para a equação diferencial que segue da segunda lei de Newton:

\[ m\dfrac{d^2 h}{d^2 t} = -mg, \]

onde \(m\) é a massa do objeto.

• Nesse caso

\[ \left[m\dfrac{d^2 h}{d^2 t}\right] = M L T^{-2}, \qquad [-mg] = [m][g] = M L T^{-2} \]

ou seja, todo os dois termos aditivos têm dimensão \(MLT^{-2}\).

• Observe que da segunda lei de Newton podemos deduzir que, independente da força exercida em um sistema mecânico, ela tem exatamente a unidade de \(MLT^{-2}\).

Dimensão em derivadas

• Aproveitamos o exemplo acima para ilustrar que o processo de derivada acarreta em incluir uma potência no denominador, relativa à dimensão da quantidade em relação à qual se está derivando.

• Mais precisamente, se temos duas quantidades variáveis \(x\) e \(y\) e queremos olhar para a dimensão da taxa de variação de \(y\) em relação a \(x\), então

\[ \left[\dfrac{dy}{dx}\right] = \left[\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right] = \left[\frac{d y}{d x}\right] = \dfrac{[d y]}{[d x]} = \frac{[y]}{[x]}. \]

• No caso da segunda derivada,

\[ \left[\dfrac{d^2y}{dx^2}\right] \left[\dfrac{d}{dx}\dfrac{dy}{dx}\right]= \frac{\left[\dfrac{dy}{dx}\right]}{[dx]} = \dfrac{\dfrac{[y]}{[x]}}{[x]} = \frac{[y]}{[x]^2}. \]

• E assim por diante.

Lei da gravitação universal

• A força gravitacional entre dois corpos pontuais de massa \(m_1\) e \(m_2\) que estão a uma distância \(R\) entre si tem magnitude

\[ |F| = G\frac{m_1m_2}{R^2}, \]

onde \(G\) é uma constante chamada de constante universal.

• Podemos checar a consistência dessa relação à luz do princípio da homogeneidade dimensional.

• A constante universal é uma constante obtida empiricamente e é dada mais precisamente por

\[ G = 6.674\times 10^{−11} \texttt{m}^3\;\texttt{kg}^{−1}\;\texttt{s}^{−2}. \]

• Assim, temos

\[ [G] = \frac{L^3}{MT^2}, \quad [m_1] = [m_2] = M, \qquad [R] = L, \]

de modo que

\[ [F] = \frac{L^3}{MT^2}\frac{M^2}{L^2} = \frac{ML}{T^2} \]

o que está de acordo com a dimensão de força.

• Isso mostra a consistência da fórmula acima.

Teorema de Buckingham-Pi

Ou Teorema Pi de Buckingham ou Teorema Buckingham-\(\mathbf{\Pi}\)

• O teorema foi proposto em 1914 por Buckingham. O nome Pi se deve a notação matemática \(\Pi\) para um produtório, neste caso, um produto de grandezas (variáveis e parâmetros), dado que os grupos adimensionais fornecidos pelo teorema são produtos de potências (inteiras) de notados por originalmente por \(\pi_1\), \(\pi_2\), etc.

• Os fundamentos do método de análise dimensional repousa em duas hipóteses:

1. Universalidade: todas as variáveis relevantes foram incluídas no modelo.

2. Homogeneidade dimensional: A relação física proposta pelo modelo é dimensionalmente homogênea

O Teorema

Teorema (Buckingham-Pi) Considere um sistema com \(n\) quantidades \(q_1, \ldots, q_n\) em que \(m\) dimensões fundamentais estão envolvidas. Então, \(n-m\) grandezas adimensionais \(\pi_1,\ldots, \pi_{n-m}\) podem ser definidas como potências das quantidades originais (um monômio nessas quantidades).

Além disso, cada equação (escalar) entre essas quantidades,

\[ f(q_1, \ldots, q_n) = 0, \]

dado em modelo matemático associado ao sistema, pode ser substituída por uma relação correspondente entre os \(\pi_i\):

\[ f^*(\pi_1, \ldots, \pi_{n-m}) = 0 \]

• As quantidades \(q_i\) incluem tanto variáveis (e.g. posição) como parâmetros (e.g. aceleração da gravidade).

• Cada equação do modelo pode contemplar vetores, matrizes, etc, porém, para o objetivo da análise, todas as componentes escalares devem ser tratadas separadamente como quantidades.

• No centro da demonstração está o Teorema do Núcleo e da Imagem.

Demonstração

• Formemos o produto

\[ \pi = q_1^{r_1} ~\cdots~ q_n^{r_n}. \]

• Queremos saber para quais escolhas de \(r_i\) o produto é adimensional.

• Para ver isso, olhamos para a dimensão do produto e substituímos cada \([q_i]\) em termos de suas dimensões fundamentais.

• Se temos apenas \(m\) dimensões fundamentais \(D_1, \ldots, D_m\), então essa substituição dá origem a um produto

\[ [\pi] = [q_1]^{r_1} ~\cdots~ [q_n]^{r_n} = D_1^{s_1} \cdots D_m^{s_m}, \]

onde cada \(s_j\), \(j = 1, \ldots, m\), é uma combinação linear dos \(r_i\), \(i = 1, \ldots, n\).

• Escrevemos a dependência linear dos \(s_j\) nos \(r_i\) como

\[ s = A r, \qquad s=(s_1, \ldots, s_m)\in \mathbb{R}^m, \;r=(r_1, \ldots, r_N)\in\mathbb{R}^N. \]

• Para que o produto \([\pi] = D_1^{s_1} \cdots D_m^{s_m}\) seja adimensional, devemos ter cada potência se anulando, i.e.

\[ s_i = 0, \quad \text{para} \quad i = 1, \ldots, m. \]

• Isso nos leva a um sistema linear homogêneo de \(m\) equações lineares para \(n\) incógnitas \(r_1, \ldots, r_n\).

• Ou seja, reduzimos o problema a se determinar o núcleo de uma matriz de tamanho \(m \times n\), associada ao sistema linear, i.e.

\[ N(A) = \{ r\in \mathbb{R}^n; Ar = 0\}. \]

• O Teorema da Imagem e do Núcleo nos diz que

\[ \dim N(A) + \dim \text{Im}(A) = n. \]

• Como \(\dim \text{Im}(A) \leq m\), obtemos

\[ \dim N(A) = n - \dim \text{Im}(A) \geq n - m. \]

• Ou seja, a dimensão do núcleo é no mínimo \(n-m\).

• Portanto, teremos no mínimo \(n-m\) soluções linearmente indepentes, \(r_k\), \(k=1, \ldots, n-m\).

• Cada solução \(r_k=(r_{k,1}, \ldots, r_{k,n})\), \(k=1, \ldots, n-m\), nos dá uma quantidade adimensional

\[ \pi_k = q_1^{r_{k,1}} ~\cdots~ q_n^{r_{k,n}}. \]

• Isso corresponde justamente às \(n-m\) grandezas adimensionais do enunciado do teorema.

• Agora, para a segunda parte, considere

\[ f(q_1, \ldots, q_n) = 0. \]

• Obtivemos que

\[ \pi_k = q_1^{r_{k,1}} ~\cdots~ q_n^{r_{k,n}}, \qquad k=1, \ldots, n-m. \]

• A dificuldade aqui é obter a relação inversa da dependência dos \(q_i\)'s nos \(\pi_k\)'s.

• De fato, isso é, em geral, impossível para todos os \(q_i\)'s, pois usualmente temos mais grandezas \(q_i\), \(i=1, \ldots, n\), do que quantidades adimensionais \(\pi_k\), \(k=1, \ldots, n-m\) (e equações correspondentes).

• Mas podemos resolver para \(n-m\) grandezas:

\[ q_{n-m+1}, \ldots, q_n = \text{ monômios em } \pi_1, \ldots, \pi_{n-m}, q_1 \ldots q_{n-m}. \]

• Isso nos leva a um novo modelo

\[ f^*(q_1, \ldots, q_{n-m}, \pi_1, \ldots, \pi_{n-m}) = 0. \]

• Por fim, pelo princípio de homogeneidade dimensional, é possível mostrar que o termo acima é independente de \(q_1, \ldots, q_{n-m}\), nos levando finalmente a

\[ f^*(\pi_1, \ldots, \pi_{n-m}) = 0. \]

O pêndulo simples

• Vamos rever o exemplo do pêndulo, tratado no terceiro caderno, à luz do Teorema de Buckingham-Pi.

• As variáveis envolvidas na descrição do fenômeno são o ângulo \(\theta\) e o tempo \(t\). E os parâmetros são a massa \(m\) do prumo, o comprimento \(\ell\) da haste rígida e a aceleração da gravidade \(g\).

• Observe que agora estamos considerando o ângulo, que nao consideramos anteriormente, mas observe também que o ângulo é uma quantidade adimensional, pois podemos enxergá-lo como a razão entre o comprimento do arco \(r\theta\) que ele descreve em uma circunferência e o raio \(r\) da mesma.

• Assim, temos \([\theta] = 1\) (adimensional), \([t]=T\), \([m] = M\), \([\ell] = L\) e \([g]=LT^{-2}\). Portanto, temos as dimensões fundamentais \(L\), \(M\) e \(T\).

• Ou seja, na notação do teorema, temos \(n=5\) grandezas físicas e \(m=3\) dimensões fundamentais.

• Assim, \(n-m=2\) grandezas adimensionais \(\pi_1\) e \(\pi_2\) podem ser escritas como potências dos parâmetros e das variáveis originais.

• Como \(\theta\) já é adimensional, podemos tomá-lo como uma dessas duas quantidades. Falta encontrar a outra.

Segunda quantidade adimensional

• Para encontrar a outra quantidade adimensional, vamos descartar \(\theta\) que já foi encontrado e formar o produto

\[ \pi_2 = t^{r_1} \ell^{r_2} m^{r_3} g^{r_4}. \]

• Temos,

\[ [t] = T, \quad [\ell] = L, \quad [m] = M, \quad [g] = LT^{-2}. \]

• Substituindo no produto acima, obtemos

\[ [\pi_2] = T^{r_1} L^{r_2} M^{r_3} (LT^{-2})^{r_4} = T^{r_1 - 2 r_4} L^{r_2 + r_4} M^{r_3}, \]

• A condição de pedir que o produto seja adimensional nos dá o sistema linear

\[ \begin{cases} r_1 - 2 r_4 = 0, \\ r_2 + r_4 = 0, \\ r_3 = 0, \end{cases} \]

• Esse sistema possui infinitas soluções:

\[ \begin{cases} r_1 = 2s \\ r_2 = -s \\ r_3 = 0 \\ r_4 = s \end{cases} \]

para \(s\in \mathbb{R}\) qualquer. Isso nos dá

\[ \pi_2 = t^{2s} \ell^{-s}g^{s} = (t^2\ell^{-1}g)^s. \]

• Uma solução em particular é com \(s=1/2\) (apenas escolhido para que a potência em \(t\) seja \(1\), nada mais).

• Nesse caso, temos a quantidade adimensional

\[ \pi_2 = t\sqrt{\frac{g}{\ell}}. \]

• Note que a massa \(m\) não está presente em nenhuma grandeza adimensional, ou seja, ela não influencia no movimento do pêndulo, pelo menos segundo as hipóteses que fizemos.

Periodicidade

• Na análise acima, a quantidade \(t\) é uma variável do problema. A relação não diz que \(\pi_2\), e consequentemente \(t\), é constante. Apenas diz que a quantidade \(\pi_2 = t\sqrt{g/\ell}\) é adimensional.

• Além disso, nada na análise dimensional acima diz que o movimento do pêndulo é periódico.

• Mas se intuírmos, através da observação, que o movimento é (aproximadamente) periódico, então o período é uma grandeza característica do problema.

• E se consideramos esse período \(\tau\) como parâmetro no sistema, no lugar da variável \(t\), então obtemos a relação adimensional

\[ \pi_2 = \tau \sqrt{\frac{g}{\ell}} \]

• Isso nos leva à relação para o período

\[ \tau \propto \sqrt{\frac{\ell}{g}}. \]

Pêndulo com pequenos ângulos

• Na análise acima, obtivemos as grandezas adimensionais \(\pi_1 = \theta\) e \(\pi_2 = \tau\sqrt{g/\ell}\). Nada afirma que elas sejam constantes.

• Mas é razoável assumirmos que haja uma relação entre essas quantidades da forma

\[ f(\pi_1, \pi_2) = 0 \]

• Podemos fazer uma aproximação de primeira ordem em \(\pi_2\) e obter

\[ 0 = f(\pi_1, 0) + \pi_2\frac{\partial f}{\partial \pi_2}(\pi_1, 0). \]

• Podemos escrever

\[ \pi_2 \approx -\frac{f(\pi_1, 0)}{\frac{\partial f}{\partial \pi_2}(\pi_1, 0)} \]

• Isso nos dá \(\pi_2 \approx A(\pi_1)\), para \(A(\pi_1) = - f_{\pi_1}(\pi_1,0)/f_{\pi_2}(\pi_1, 0)\).

• Portanto,

\[ \tau \approx A(\theta)\sqrt{\frac{\ell}{g}}. \]

Velocidade do som

• Considerando um certo fluido sob pressão \(p\) e densidade \(\rho\).

• Assumindo a hipótese de que a velocidade \(v\) do som nesse meio depende apenas dessas duas quantidades, como podemos deduzir uma relação entre elas?

• Temos que a pressão é força por área e que a força é \(ML/T^2\), logo

\[ [p] = \frac{M}{LT^2} \]

• Além disso,

\[ [v] = \frac{L}{T}, \qquad [\rho] = \frac{M}{L^3}. \]

• Assim,

\[ [v^\alpha p^\beta \rho^\gamma] = \left(\frac{L}{T}\right)^\alpha \left(\frac{M}{LT^2}\right)^\beta \left(\frac{M}{L^3}\right)^\gamma = L^{\alpha-\beta-3\gamma}M^{\beta + \gamma}T^{-\alpha-2\beta}. \]

• Observe que temos \(3\) quantidades, \(p\), \(\rho\) e \(v\), para três dimensões, \(L\), \(M\), \(T\). O Teorema de Buckingham-Pi nos garante pelo menos \(n-m = 3 - 3 = 0\) quantidades adimensionais. Ou seja, não há nada garantido nesse caso. Mas nada nos impede de tentar.

• Para termos \(\pi = v^\alpha p^\beta \rho^\gamma\) adimensioal, precisamos resolver o sistema

\[ \begin{cases} \alpha - \beta - 3\gamma = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \\ -\alpha-2\beta = 0. \end{cases} \]

• Resolvendo,

\[ \begin{cases} \alpha = 2\gamma \\ \beta = -\gamma, \end{cases} \]

com \(\gamma\) qualquer.

• Isso nos leva às quantidades adimensionais

\[ \pi = v^{2\gamma}p^{-\gamma}\rho^\gamma \]

• Ou seja, mesmo nesse caso em que \(m=n\), ainda temos um sistema degenerado, com um núcleo de dimensão \(1\).

• Assim, obtemos

\[ v \propto \sqrt{\frac{p}{\rho}} \]

• Esta é uma aproximação. Na prática, efeitos térmicos influenciam na lei. Além disso, ela não é universal, no sentido da constante de proporcionalidade ser independente do gás. Leia mais sobre isso em velocidade do som

Exercícios

1. Considere uma corda de comprimento \(\ell\) com uma extremidade fixa e a outra presa a um objeto de massa \(m\). Suponha que esse sistema corda-massa gire em um movimento circular uniforme, com velocidade constante \(v\). Esse movimento gera uma tensão \(T\) na corda. A tensão é uma força. Use análise dimensional para deduzir a relação

\[ \frac{T\ell}{mv^2} = \text{constante.} \]

1. No problema da velocidade do som em um meio, o que acontece no caso de assumirmos que as únicas quantidades relevantes são a própria velocidade \(v\) e a pressão \(p\), apenas? E no caso de assumirmos que as quantidades relevantes são \(v\), \(p\), \(\rho\) e a temperatura \(\theta\) do meio?

2. Em 1941, G. I Taylor, um famoso físico e matemático britânico, com grandes contribuições à mecânica dos fluidos, fez uma estimativa do rendimento da primeira bomba nuclear detonada pelos EUA, na chamada experiência Trinity. A estimativa foi feita apenas com análise dimensional e dados da evolução da frente de onda obtidos de uma filmagem da explosão. Assumindo que os únicos parâmetros relevantes para o cálculo do rendimento \(E\) (energia despendida) são a densidade \(\rho\) do ar, o raio da onda de choque \(r=r(t)\) e o instante de tempo \(t\), encontre uma relação adimensional entre essas quantidades.

3. Estimar o atrito na parede de um tubo é uma das tarefas mais comuns em aplicações de engenharia envolvendo fluidos. Para tubos longos circulares e ásperos em regime de escoamento turbulento, a tensão de cisalhamento no parede, \(\tau_w\), é uma função da densidade \(\rho\), viscosidade (dinâmica) \(\mu\), velocidade média \(V\), diâmetro do cano \(d\), e da altura de rugosidade da parede \(\varepsilon\). Assim, funcionalmente podemos escrever a relação \(\tau_w = f(\rho, \mu, V, d, \varepsilon)\).

4. Usando o procedimento do Teorema de Buckingham-Pi, mostre como chegar nos grandezas adimensionais

\[ C_f = \dfrac{\tau_w}{\rho V^2}, \quad Re = \dfrac{\rho V d}{\mu}, \quad \varepsilon^* = \dfrac{\varepsilon}{d}, \]

2. Conclua que a relação pode ser simplificada para \(C_f = f^*(Re, \varepsilon^*)\).

3. Obs: \(C_f\) é dito o coeficiente de atrito na parede; \(Re\) é dito o número de Reynolds; e \(\varepsilon^*\) dita a rugosidade relativa.

Referências

1. C. Dym, Principles of Mathematical Modeling, 2nd ed, Academic Press, 2004.

2. E. A. Bender, An Introduction to Mathematical Modeling, Dover, 1978.

3. G. Barenblatt, G. – Scaling, Cambridge University Press, 2003.

4. Groesen, E. van, and Molenaar, J. – Continuum Modeling in the Physical Sciences, SIAM, 2007.

5. T. Tao, A mathematical formalisation of dimensional analysis.