3.1. Quantidades, unidades e dimensões

• Análise dimensional é uma técnica clássica usada em engenharia e física para a obtenção de leis aproximadas para algum problema/fenômeno.

• Essa análise se aplica, mais geralmente, a diversas áreas.

• Uma formalização da técnica dada pela análise dimensional é o Teorema de Buckinham-Pi.

• Nesse primeira parte sobre o assunto, vamos ver os conceitos de quantidade, unidade e dimensão.

Objetivos da análise dimensional

• Reduzir o número e a complexidade de variáveis que afetam um determinado fenômeno.

• Fornecer uma intuição simples e objetiva da realidade, apesar de aproximada.

• Benefício extra: fazer uma primeira validação de um modelo checando-se a sua consistência dimensional.

Quantidades, unidades e dimensões - versão informal

• Uma quantidade é uma propriedade de um objeto (e.g. material, sistema, bem, serviço, etc.) que possa ser quantificado com alguma medida. Por exemplo, a altura de uma pessoa;

• Essa medida de uma quantidade é expressa através de um valor (numérico) e uma unidade de medida. Por exemplo, um metro e oitenta de altura, denotado por \(h = 1,80\,\texttt{m}\);

• Cada unidade, ou quantidade, possui uma dimensão, com dada dimensão podendo ter várias unidades. Por exemplo, comprimento, denotado por \(L\), medido em unidades como metro \((\texttt{m})\), quilômetro \((\texttt{km})\), centímetro \((\texttt{cm})\), etc.

• Podemos somar ou subtrair quantidades com a mesma dimensão, mantendo a dimensão, mas não necessariamente a unidade. Por exemplo, \(1\,\texttt{m} + 80\,\texttt{cm} = 1800\,\texttt{mm}\);

• Podemos multiplicar e dividir dimensões diferentes, gerando novas dimensões. Por exemplo,

comprimento \(L\) ao quadrado nos dá a dimensão \(L^2\) de área; comprimento \(L\) sobre tempo \(T\) nos dá a dimensão \(L/T\) de velocidade.

• Da mesma forma, podemos multiplicar e dividir unidades e quantidades de dimensões diferentes. Por exemplo, \(\texttt{m}*\texttt{m} = \texttt{m}^2\) é uma unidade de área e \((36\,\texttt{km})/(30\,\texttt{min}) = 72\,\texttt{km}/\texttt{h} = 20\,\texttt{m}/\texttt{s}\) é uma quantidade medindo velocidade.

• Mais pra frente veremos uma, das muitas possíveis, versões formais abstratas desses conceitos.

Exemplos

• Como mencionado acima, podemos consider a altura como sendo uma propriedade de uma pessoa, com a dimensão de comprimento, que pode ser medida em unidades de metros, centímetros, pés, polegas, etc., e com um valor numérico apropriado. Por exemplo, a minha altura é de \(h = 1,80 \,\texttt{m}\), onde \(\texttt{m}\) é o símbolo para metros. A notação para a dimensão de comprimento é \([h] = L\). Em outras unidades, posso escrever \(h = 180 \,\texttt{cm}\) ou \(h = 5\,\texttt{ft} \;11\,\texttt{in}\).

• A pressão atmosférica é a pressão que sentimos devida à atmosfera da Terra. Ao nível do mar, na média ao redor da Terra, ela é de aproximadamente 1 atmosfera, ou \(1 \,\texttt{atm}\), onde \(\texttt{atm}\) é, mais precisamente, a atmosfera padrão, que é definida como

\[ \begin{align*} 1\,\texttt{atm} & = 101,325.0\,\texttt{Pa} = 1,013.25 \,\texttt{hPa} = 1,013.25 \,\texttt{mbar} \\ & = 760 \,\texttt{mm}\;\texttt{Hg} = 29.9212 \,\texttt{in}\;\texttt{Hg} = 14.696 \,\texttt{psi}. \end{align*} \]

Conjuntos de dimensões

• Em geral, para cada problema em questão, podemos nos restringir a apenas um determinado conjunto de dimensões.

• Por exemplo, para problemas mecânicos, basta considerarmos massa, comprimento e tempo.

• No caso de problemas termo-mecânicos, devemos adicionar a temperatura.

• Em finanças, consideramos uma dimensão monetária.

• Em química, precisamos de uma dimensão para a quantidade de uma substância.

• Em outros problemas, uma dimensão para a corrente elétrica, para luminosidade, etc.

Sistemas de unidades

• Junto com a determinação de um conjunto de dimensões para um determinado problema, podemos escolher um conjunto de unidades para representar quantidades em cada dimensão.

• Fixando as unidades, podemos abstrair os valores e facilitar os cálculos entre as quantidades.

• Uma determinada escolha de unidades é chamada de sistema de unidades.

Sistema MKS

• Por exemplo, o sistema MKS considera metros, quilograma e segundos para as dimensões de comprimento, massa e tempo, como exibido na tabela a seguir.

Grandeza	Unidades	Nome	Dimensão
comprimento	\(\texttt{m}\)	metro	\(L\)
massa	\(\texttt{kg}\)	quilograma	\(M\)
tempo	\(\texttt{s}\)	segundos	\(T\)

Agregando a temperatura

• Em problemas termo-mecânicos, precisamos incluir a temperatura, usualmente medida em Kelvin, nos levando ao sistema

Grandeza	Unidades	Nome	Dimensão
comprimento	\(\texttt{m}\)	metro	\(L\)
massa	\(\texttt{kg}\)	quilograma	\(M\)
tempo	\(\texttt{s}\)	segundos	\(T\)
temperatura	\(\texttt{K}\)	kelvin	\(\Theta\)

O sistema internacional de unidades

• Este sistema inclui ainda corrente elétrica, unidade para a quantidade de substância, e intensidade luminosa.

Grandeza	Unidades	Nome	Dimensão
comprimento	\(\texttt{m}\)	metro	\(L\)
massa	\(\texttt{kg}\)	quilograma	\(M\)
tempo	\(\texttt{s}\)	segundos	\(T\)
temperatura	\(\texttt{K}\)	kelvin	\(\Theta\)
corrente elétrica	\(\texttt{A}\)	ampére	\(I\)
intensidade luminosa	\(\texttt{cd}\)	candeia	\(J\)
quantidade de substância	\(\texttt{mol}\)	mole	\(N\)

Dimensões e unidades fundamentais e derivadas

• As dimensões e as unidades associadas às grandezas físicas são divididas em duas categorias: fundamentais (ou de base) e derivadas.

• No sistema MKS, por exemplo, as dimensões fundamentais são comprimento, massa e tempo. A partir delas, podemos obter volume, área, velocidade, aceleração e densidade, por exemplo, com dimensões, respectivamente, de \(L^3\), \(L^2\), \(L/T\), \(L/T^2\) e \(M/L^3\).

• Mas essa classificação é arbitrária. Poderíamos considerar o volume como unidade fundamental, no lugar de comprimento, e obter o comprimento \(L=\text{volume}^{1/3}\). Ou considerar ainda a densidade no lugar da massa e obter \(M=\text{densidade}\times\text{volume}\).

• Associadas à escolha das dimensões fundamentais, temos as unidades fundamentais correspondentes, assim como as unidades derivadas.

Exemplos de unidades derivadas

Grandeza	Unidades	Dimensão	Nome
área	\(\texttt{m}^2\)	\(L^2\)
volume	\(\texttt{m}^3\)	\(L^3\)
velocidade	\(\texttt{m}\,/\,\texttt{s}\) = \(\texttt{m}\,\texttt{s}^{-1}\)	\(L T^{-1}\)
aceleração	\(m/s^2\) = \(m \, s^{-2}\)	\(L T^{-2}\)
força	\(N\) = \(\dfrac{\texttt{kg}\,\texttt{m}}{\texttt{s}^2}\) = \({\texttt{kg} \, \texttt{m} \, \texttt{s}^{-2}}\)	\(M L T^{-2}\)	Newton
trabalho / energia	\(\texttt{J}\) = \(\dfrac{\texttt{kg} \, \texttt{m}^2}{\texttt{s}^2}\) = \({\texttt{kg} \, \texttt{m}^2 \, \texttt{s}^{-2}}\)	\(M L^2 T^{-2}\)	Joule
pressão	\(\texttt{Pa}\) = \(\dfrac{\texttt{kg}}{\texttt{m} \, \texttt{s}^2}\) = \({\texttt{kg} \, \texttt{m}^{-1} \, \texttt{s}^{-2}}\)	\(M L^{-1} T^{-2}\)	Pascal
densidade (massa específica)	\(\dfrac{\texttt{kg}}{\texttt{m}^3}\) = \(\texttt{kg} \, \texttt{m}^{-3}\)	\(M L^{-3}\)
difusividade (de massa e térmica)	\(\dfrac{\texttt{m}^2}{\texttt{s}}\) = \(\texttt{m}^2 \, \texttt{s}^{-1}\)	\(M^2 T^{-1}\)

Observe que o litro é uma unidade de volume igual a um decímetro cúbico, i.e. \(\texttt{l} = \texttt{dm}^3\).

Para uma lista mais completa, veja Lista de grandezas físicas

Sistemas de mesma classe

• Um outro sistema semelhante ao MKS é o CGS, onde as unidades tomadas para as dimensões de comprimento, massa e tempo são centímetro, grama e segundos.

• Observe que eles representam as mesmas dimensões. Qualquer dimensão em um sistema é representável por uma dimensão (fundamental ou derivada, mas nesse caso sempre fundamental) no outro. Nesse casos, eles são ditos sistemas de mesma classe.

• Sistemas da mesma classe são facilmente intercambiáveis. Podemos expressar qualquer quantidade possível em um ou em outro sistema. Por exemplo, como vimos acima, podemos representar uma distância de 2 metros como sendo de 200 centímetros. E uma densidade de \(1000\,\texttt{kg}/\texttt{m}^3\) como sendo de \(1.000.000\,\texttt{g}/100^3\texttt{cm}^3 = 1\,\texttt{g}/\texttt{cm}^3\).

Quantidades, unidades e dimensões - uma versão formal

• Uma quantidade é um conjunto de pares ordenados \((r, \texttt{u})\), onde \(r\in \mathbb{R}\) é um valor numérico e \(\texttt{u}\) é uma unidade, pertencente a um conjunto de unidades \(\texttt{U}\).

• Em termos de notação, escrevemos \(q=(r,\texttt{u})\) como \(q = r\,\texttt{u}\).

• Uma hipótese fundamental é a de que existe uma relação de equivalência \(\sim\) no conjunto \(\texttt{U}\) das unidades, onde cada classe de equivalência é chamada de dimensão.

• Em termos de notação, escrevemos a dimensão de uma unidade \(\texttt{u}\) por \([\texttt{u}]\).

• Essa relação de equivalência se estende, naturalmente, às quantidades: \(r \,\texttt{u}\sim s \,\texttt{v} \Leftrightarrow \texttt{u}\sim \texttt{v}\). Dessa forma, a dimensão de uma quantidade \(q\) é definida através da dimensão da sua unidade: \([q]=[\texttt{u}]\).

• Outra hipótese é a de que o conjunto de classes de equivalência possui uma operação de multiplicação com a qual é um grupo abeliano. O elemento neutro recebe uma terminologia especial, a de ser adimensional.

• Nesse grupo formado pelo conjunto de classes de equivalência, também se assume que os inteiros agem "livremente" e "transitivamene" nele, ou seja, dados elementos \(D_1\) e \(D_2\) na classe, existe um único inteiro \(n\) tal que \(nD_1 = D_2\).

• Outra hipótese fundamental é a de que, em cada classe de equivalência, temos uma operação de adição sob a qual a classe de equivalência também forma um grupo abeliano.

• Por fim, temos a hipótese de que quaisquer unidades \(\texttt{u}\) e \(\texttt{v}\) com a mesma dimensão estão relacionadas por uma transformação afim, ou seja, existem \(a_0\in\mathbb{R}\) e \(\lambda > 0\) tais que, para qualquer \(r\in \mathbb{R}\), temos

\[ r\,\texttt{u} = (a_0 + \lambda r) \,\texttt{v}. \]

• Na maioria dos casos, no entanto, as unidades escolhidas na prátia possuem uma relação linear, i.e. com \(a_0=0\).

Propriedades

• Com as hipóteses acima, podemos comparar as magnitudes de quaisquer duas dimensões \(q=r\,u\) e \(p=s\,\texttt{v}\) com a mesma dimensão através da comparação de seu valores na mesma unidade, ou seja, comparando-se \(a_0 + \lambda r\) com \(s\), onde \(a_0\) e \(\lambda\) são dados pela relação \(1 \,\texttt{u} = (a_0 + \lambda) \,\texttt{v}\).

• Das hipóteses de adição e de subtração, temos as propriedades \([q + p] = [q] + [p]\), para quantidades de mesma dimensão, e \([pq] = [p][q]\), para quantidades de dimensões diferentes.

• A adição se estende para quantidades de mesma dimensão: \(r\,\texttt{u} + s\,\texttt{v} = (a_0 + \lambda r + s)\,\texttt{v}\). Naturalmente, a dimensão é preservada: \([r\,\texttt{u} + s\,\texttt{v}] = [\texttt{u}] = [\texttt{v}]\).

• As hipóteses do conjunto de unidades ser um grupo abeliano (em particular, qualquer dimensão \(D\) possui inversa \(D^{-1}\), com \(D^0=1\) adimensional) e dos racionais agirem livremente nele (em particular, dados \(D\) e \(n\) existe o elemento \((1/n)D\) e é unico, de forma que podeos chamamá-lo de \(D^{1/n}\).)

• Essa multiplicação se estende naturalmente a unidades e quantidades.

  • No caso de unidades, definimos \((\texttt{u},\texttt{v})\rightarrow \texttt{u}*\texttt{v}\), com \([\texttt{u}\texttt{v}] = [\texttt{u}][\texttt{v}]\), assim como a inversa multiplicativa \([\texttt{u}/\texttt{v}] = [\texttt{u}]/[\texttt{v}]\), sendo que \([\texttt{u}/\texttt{u}] = 1\), representando a adimensionalidade.

  • No caso de quantidades, temos \(r\,\texttt{u} * s\,\texttt{v} = rs \,\texttt{u}\texttt{v}\) e \((r\,\texttt{u}) / (s\,\texttt{v}) = (r/s)\,\texttt{u}\texttt{v}\), quando \(s\neq 0\).

Funções transcendentais

• As funções trigonométricas, a função exponencial, o logaritmo e outras funções transcendentais não são estendidas diretamente a quantidades, unidades e dimensões.

• Elas podem ser definidas por geometria ou por séries de potências ou por outras maneiras não puramente algébricas e que não estão plenamente disponíveis no contexto dimensional.

• Elas só se aplicam a quantidades adimensionais.

• O logaritmo, no entanto, pode ser dado um certo sentido em geral, mas é preciso ter cuidado.

Dimensões com estrutura de espaço vetorial e "um" logaritmo

• De maneira apropriada, podemos associar o grupo \(\mathcal{D}\) de dimensões com um espaço vetorial sobre os racionais.

• Para diferenciar o conjunto de dimensões munido das operações de grupo, que denotamos por \(\mathcal{D}\), do mesmo conjunto munido das operações vetoriais, vamos denotar este último por \(\overline{\mathcal{D}}\).

• A cada \(D\), vamos denotar por \(\bar D\) essa dimensão vista como elemento de \(\overline{\mathcal{D}}\). (Imagine "mergulhar" \(x\in\mathbb{R}\) em \(\bar x = (x,0)\in \mathbb{R}^2\), ou trasformar \(s\in (0,\infty)\) em \(\bar s = \log s \in \mathbb{R}\)... 😉)

• Dados um racional \(q\) e dimensões \(\bar D\), \(\bar D_1\) e \(\bar D_2\) em \(\overline{\mathcal{D}}\), definimos o produto escalar e a soma vetorial em \(\mathcal{D}\) respectivamente por

\[ q \bar D = \overline{D^q}, \qquad \bar D_1 + \bar D_2 = \overline{D_1 D_2}. \]

• Verifique, de fato, que isso faz de \(\bar{D}\) um espaço vetorial sobre os racionais!

• E observe que, com essa representação, a transformação \(D\mapsto \bar D\) tem a "cara" (propriedades algébricas) de um logaritmo.

• Por conta disso, podemos renomear essa transformação para \(\operatorname{Log}\):

\[ q \operatorname{Log}(D) = \operatorname{Log}(D^q), \qquad \operatorname{Log}(D_1D_2) = \operatorname{Log}(D_1) + \operatorname{Log}(D_2). \]

• Observe o meu cuidado em não escrever \(\log\), mas \(\operatorname{Log}\), para ressaltar que ele não é o mesmo operador que age concretamente nos reais (e nos complexos, quaternions, etc.)

O espaço de dimensões do sistema MKS

• No sistema MKS, só consideramos as dimensões de comprimento, massa e tempo: \(L\), \(M\) e \(T\).

• A partir delas, temos velocidade \(L T^{-1}\), aceleração \(L T^{-2}\), área \(L^2\), volume \(L^3\), densidade \(ML^{-3}\), energia \(ML^2T^{-2}\) e assim por diante.

• Claramente, isso tem uma aspecto de base, onde \(L\), \(M\) e \(T\) geram todas as outras dimensões desse sistema.

• Essa associação fica mais clara quando usamos a representação logarítmica anterior, onde podemos escrever

\[ \begin{align*} \operatorname{Log}(L T^{-1}) & = \operatorname{Log}(L) - \operatorname{Log}(T), & \text{(velocidade)} \\ \operatorname{Log}(L T^{-2}) & = \operatorname{Log}(L) - 2\operatorname{Log}(T), & \mathrm{(aceleração)} \\ \operatorname{Log}(L^2) & = 2 \operatorname{Log}(L), & \mathrm{(área)} \\ \operatorname{Log}(L^3) & = 3 \operatorname{Log}(L), & \mathrm{(volume)} \\ \operatorname{Log}(ML^{-3}) & = \operatorname{Log}(M) - 3\operatorname{Log}(L), & \mathrm{ (densidade)} \\ \operatorname{Log}(ML^{2}T^{-2}) & = \operatorname{Log}(M) - 2\operatorname{Log}(L) - 2\operatorname{T}, & \mathrm{(energia)} \end{align*} \]

Logaritmos de quantidades e unidades

• A mesma ideia pode ser estendida a quantidades e unidades, afinal eles também tem essa estutura de grupo abeliano para a multiplicação.

• Podemos considerar \(\operatorname{Log}(\texttt{u})\) de uma unidade \(\texttt{u}\) e, associado a isso, \(\operatorname{Log}(q)\) de uma quantidade.

• Mas cuidado!:

  • A operação \(\operatorname{Log}(\texttt{u}) + \operatorname{Log}(\texttt{v})\) deve ser vista meramente como uma representação da unidade \(\texttt{u}\texttt{v}\), não como números reais sendo somados. Essa adição mora em um espaço vetorial abstrato.

  • Da mesma forma para quantidades, mas, mais ainda, nem pensar em fazer \(\operatorname{Log}(2 \;\texttt{metros}) = \log(2) + \operatorname{Log}(\texttt{metros})\). Isso não tem o menor sentido. Não podemos "quebrar" a unidade \((2, \texttt{m})\) em dois objetos separados e operar em cada um deles, nem tampouco somar um número real \(\log(2)\) com essa representação abstrata \(\operatorname{Log}(\texttt{metros})\) da unidade metros.

  • E não confundir \(\operatorname{Log}\) com \(\log\)!

Quantidades e unidades como um subespaço afim unidimensional real

• O conjunto de unidades também pode ter uma representação mais concreta.

• Cada conjunto de equivalência de unidade pode ser visto como um subespaço afim unidimensional sobre os reais.

• Na maioria dos casos, simplesmente como um subespaço.

• Dadas duas unidades \(\texttt{u}\) e \(\texttt{v}\) na mesma classe, ou seja, de mesma dimensão, existem um \(a_0\in \mathbb{R}\) e um fator \(\lambda>0\) tais que, qualquer \(r\in \mathbb{R}\), podemos sempre escrever \(r\,\texttt{u}\) como \(r\,\texttt{u} = (a_0 + \lambda r)\,\texttt{v}\), para algum \(s\in \mathbb{R}\).

• É essencialmente como se cada unidade se comportasse como uma base para o subespaço.

Referências

1. C. Dym, Principles of Mathematical Modeling, 2nd ed, Academic Press, 2004.

2. E. A. Bender, An Introduction to Mathematical Modeling, Dover, 1978.

3. G. Barenblatt, G. – Scaling, Cambridge University Press, 2003.

4. Groesen, E. van, and Molenaar, J. – Continuum Modeling in the Physical Sciences, SIAM, 2007.

5. T. Tao, A mathematical formalisation of dimensional analysis.