3.1. Quantidades, unidades e dimensões

• Análise dimensional é uma técnica clássica usada em engenharia e física para a obtenção de leis aproximadas para algum problema/fenômeno.

• Essa análise se aplica, mais geralmente, a diversas áreas.

• Uma formalização da técnica dada pela análise dimensional é o Teorema de Buckinham-Pi.

• Nesse primeira parte sobre o assunto, vamos ver os conceitos de quantidade, unidade e dimensão.

Objetivos da análise dimensional

• Reduzir o número e a complexidade de variáveis que afetam um determinado fenômeno.

• Fornecer uma intuição simples e objetiva da realidade, apesar de aproximada.

• Benefício extra: fazer uma primeira validação de um modelo checando-se a sua consistência dimensional.

Quantidades, unidades e dimensões - versão informal

• Uma quantidade é uma propriedade de um objeto (e.g. material, sistema, bem, serviço, etc.) que possa ser quantificado com alguma medida. Por exemplo, a altura de uma pessoa;

• Essa medida de uma quantidade é expressa através de um valor (numérico) e uma unidade de medida. Por exemplo, um metro e oitenta de altura, denotado por $h = 1,80\,\texttt{m}$;

• Cada unidade, ou quantidade, possui uma dimensão, com dada dimensão podendo ter várias unidades. Por exemplo, comprimento, denotado por $L$, medido em unidades como metro $(\texttt{m})$, quilômetro $(\texttt{km})$, centímetro $(\texttt{cm})$, etc.

• Podemos somar ou subtrair quantidades com a mesma dimensão, mantendo a dimensão, mas não necessariamente a unidade. Por exemplo, $1\,\texttt{m} + 80\,\texttt{cm} = 1800\,\texttt{mm}$;

• Podemos multiplicar e dividir dimensões diferentes, gerando novas dimensões. Por exemplo,

comprimento $L$ ao quadrado nos dá a dimensão $L^2$ de área; comprimento $L$ sobre tempo $T$ nos dá a dimensão $L/T$ de velocidade.

• Da mesma forma, podemos multiplicar e dividir unidades e quantidades de dimensões diferentes. Por exemplo, $\texttt{m}*\texttt{m} = \texttt{m}^2$ é uma unidade de área e $(36\,\texttt{km})/(30\,\texttt{min}) = 72\,\texttt{km}/\texttt{h} = 20\,\texttt{m}/\texttt{s}$ é uma quantidade medindo velocidade.

• Mais pra frente veremos uma, das muitas possíveis, versões formais abstratas desses conceitos.

Exemplos

• Como mencionado acima, podemos consider a altura como sendo uma propriedade de uma pessoa, com a dimensão de comprimento, que pode ser medida em unidades de metros, centímetros, pés, polegas, etc., e com um valor numérico apropriado. Por exemplo, a minha altura é de $h = 1,80 \,\texttt{m}$, onde $\texttt{m}$ é o símbolo para metros. A notação para a dimensão de comprimento é $[h] = L$. Em outras unidades, posso escrever $h = 180 \,\texttt{cm}$ ou $h = 5\,\texttt{ft} \;11\,\texttt{in}$.

• A pressão atmosférica é a pressão que sentimos devida à atmosfera da Terra. Ao nível do mar, na média ao redor da Terra, ela é de aproximadamente 1 atmosfera, ou $1 \,\texttt{atm}$, onde $\texttt{atm}$ é, mais precisamente, a atmosfera padrão, que é definida como

$$\begin{align*} 1\,\texttt{atm} & = 101,325.0\,\texttt{Pa} = 1,013.25 \,\texttt{hPa} = 1,013.25 \,\texttt{mbar} \\ & = 760 \,\texttt{mm}\;\texttt{Hg} = 29.9212 \,\texttt{in}\;\texttt{Hg} = 14.696 \,\texttt{psi}. \end{align*}$$

Conjuntos de dimensões

• Em geral, para cada problema em questão, podemos nos restringir a apenas um determinado conjunto de dimensões.

• Por exemplo, para problemas mecânicos, basta considerarmos massa, comprimento e tempo.

• No caso de problemas termo-mecânicos, devemos adicionar a temperatura.

• Em finanças, consideramos uma dimensão monetária.

• Em química, precisamos de uma dimensão para a quantidade de uma substância.

• Em outros problemas, uma dimensão para a corrente elétrica, para luminosidade, etc.

Sistemas de unidades

• Junto com a determinação de um conjunto de dimensões para um determinado problema, podemos escolher um conjunto de unidades para representar quantidades em cada dimensão.

• Fixando as unidades, podemos abstrair os valores e facilitar os cálculos entre as quantidades.

• Uma determinada escolha de unidades é chamada de sistema de unidades.

Sistema MKS

• Por exemplo, o sistema MKS considera metros, quilograma e segundos para as dimensões de comprimento, massa e tempo, como exibido na tabela a seguir.

Grandeza	Unidades	Nome	Dimensão
comprimento	$\texttt{m}$	metro	$L$
massa	$\texttt{kg}$	quilograma	$M$
tempo	$\texttt{s}$	segundos	$T$

Agregando a temperatura

• Em problemas termo-mecânicos, precisamos incluir a temperatura, usualmente medida em Kelvin, nos levando ao sistema

Grandeza	Unidades	Nome	Dimensão
comprimento	$\texttt{m}$	metro	$L$
massa	$\texttt{kg}$	quilograma	$M$
tempo	$\texttt{s}$	segundos	$T$
temperatura	$\texttt{K}$	kelvin	$\Theta$

O sistema internacional de unidades

• Este sistema inclui ainda corrente elétrica, unidade para a quantidade de substância, e intensidade luminosa.

Grandeza	Unidades	Nome	Dimensão
comprimento	$\texttt{m}$	metro	$L$
massa	$\texttt{kg}$	quilograma	$M$
tempo	$\texttt{s}$	segundos	$T$
temperatura	$\texttt{K}$	kelvin	$\Theta$
corrente elétrica	$\texttt{A}$	ampére	$I$
intensidade luminosa	$\texttt{cd}$	candeia	$J$
quantidade de substância	$\texttt{mol}$	mole	$N$

Dimensões e unidades fundamentais e derivadas

• As dimensões e as unidades associadas às grandezas físicas são divididas em duas categorias: fundamentais (ou de base) e derivadas.

• No sistema MKS, por exemplo, as dimensões fundamentais são comprimento, massa e tempo. A partir delas, podemos obter volume, área, velocidade, aceleração e densidade, por exemplo, com dimensões, respectivamente, de $L^3$, $L^2$, $L/T$, $L/T^2$ e $M/L^3$.

• Mas essa classificação é arbitrária. Poderíamos considerar o volume como unidade fundamental, no lugar de comprimento, e obter o comprimento $L=\text{volume}^{1/3}$. Ou considerar ainda a densidade no lugar da massa e obter $M=\text{densidade}\times\text{volume}$.

• Associadas à escolha das dimensões fundamentais, temos as unidades fundamentais correspondentes, assim como as unidades derivadas.

Exemplos de unidades derivadas

Grandeza	Unidades	Dimensão	Nome
área	$\texttt{m}^2$	$L^2$
volume	$\texttt{m}^3$	$L^3$
velocidade	$\texttt{m}\,/\,\texttt{s}$ = $\texttt{m}\,\texttt{s}^{-1}$	$L T^{-1}$
aceleração	$m/s^2$ = $m \, s^{-2}$	$L T^{-2}$
força	$N$ = $\dfrac{\texttt{kg}\,\texttt{m}}{\texttt{s}^2}$ = ${\texttt{kg} \, \texttt{m} \, \texttt{s}^{-2}}$	$M L T^{-2}$	Newton
trabalho / energia	$\texttt{J}$ = $\dfrac{\texttt{kg} \, \texttt{m}^2}{\texttt{s}^2}$ = ${\texttt{kg} \, \texttt{m}^2 \, \texttt{s}^{-2}}$	$M L^2 T^{-2}$	Joule
pressão	$\texttt{Pa}$ = $\dfrac{\texttt{kg}}{\texttt{m} \, \texttt{s}^2}$ = ${\texttt{kg} \, \texttt{m}^{-1} \, \texttt{s}^{-2}}$	$M L^{-1} T^{-2}$	Pascal
densidade (massa específica)	$\dfrac{\texttt{kg}}{\texttt{m}^3}$ = $\texttt{kg} \, \texttt{m}^{-3}$	$M L^{-3}$
difusividade (de massa e térmica)	$\dfrac{\texttt{m}^2}{\texttt{s}}$ = $\texttt{m}^2 \, \texttt{s}^{-1}$	$M^2 T^{-1}$

Observe que o litro é uma unidade de volume igual a um decímetro cúbico, i.e. $\texttt{l} = \texttt{dm}^3$.

Para uma lista mais completa, veja Lista de grandezas físicas

Sistemas de mesma classe

• Um outro sistema semelhante ao MKS é o CGS, onde as unidades tomadas para as dimensões de comprimento, massa e tempo são centímetro, grama e segundos.

• Observe que eles representam as mesmas dimensões. Qualquer dimensão em um sistema é representável por uma dimensão (fundamental ou derivada, mas nesse caso sempre fundamental) no outro. Nesse casos, eles são ditos sistemas de mesma classe.

• Sistemas da mesma classe são facilmente intercambiáveis. Podemos expressar qualquer quantidade possível em um ou em outro sistema. Por exemplo, como vimos acima, podemos representar uma distância de 2 metros como sendo de 200 centímetros. E uma densidade de $1000\,\texttt{kg}/\texttt{m}^3$ como sendo de $1.000.000\,\texttt{g}/100^3\texttt{cm}^3 = 1\,\texttt{g}/\texttt{cm}^3$.

Quantidades, unidades e dimensões - uma versão formal

• Uma quantidade é um conjunto de pares ordenados $(r, \texttt{u})$, onde $r\in \mathbb{R}$ é um valor numérico e $\texttt{u}$ é uma unidade, pertencente a um conjunto de unidades $\texttt{U}$.

• Em termos de notação, escrevemos $q=(r,\texttt{u})$ como $q = r\,\texttt{u}$.

• Uma hipótese fundamental é a de que existe uma relação de equivalência $\sim$ no conjunto $\texttt{U}$ das unidades, onde cada classe de equivalência é chamada de dimensão.

• Em termos de notação, escrevemos a dimensão de uma unidade $\texttt{u}$ por $[\texttt{u}]$.

• Essa relação de equivalência se estende, naturalmente, às quantidades: $r \,\texttt{u}\sim s \,\texttt{v} \Leftrightarrow \texttt{u}\sim \texttt{v}$. Dessa forma, a dimensão de uma quantidade $q$ é definida através da dimensão da sua unidade: $[q]=[\texttt{u}]$.

• Outra hipótese é a de que o conjunto de classes de equivalência possui uma operação de multiplicação com a qual é um grupo abeliano. O elemento neutro recebe uma terminologia especial, a de ser adimensional.

• Nesse grupo formado pelo conjunto de classes de equivalência, também se assume que os inteiros agem "livremente" e "transitivamene" nele, ou seja, dados elementos $D_1$ e $D_2$ na classe, existe um único inteiro $n$ tal que $nD_1 = D_2$.

• Outra hipótese fundamental é a de que, em cada classe de equivalência, temos uma operação de adição sob a qual a classe de equivalência também forma um grupo abeliano.

• Por fim, temos a hipótese de que quaisquer unidades $\texttt{u}$ e $\texttt{v}$ com a mesma dimensão estão relacionadas por uma transformação afim, ou seja, existem $a_0\in\mathbb{R}$ e $\lambda > 0$ tais que, para qualquer $r\in \mathbb{R}$, temos

$$r\,\texttt{u} = (a_0 + \lambda r) \,\texttt{v}.$$

• Na maioria dos casos, no entanto, as unidades escolhidas na prátia possuem uma relação linear, i.e. com $a_0=0$.

Propriedades

• Com as hipóteses acima, podemos comparar as magnitudes de quaisquer duas dimensões $q=r\,u$ e $p=s\,\texttt{v}$ com a mesma dimensão através da comparação de seu valores na mesma unidade, ou seja, comparando-se $a_0 + \lambda r$ com $s$, onde $a_0$ e $\lambda$ são dados pela relação $1 \,\texttt{u} = (a_0 + \lambda) \,\texttt{v}$.

• Das hipóteses de adição e de subtração, temos as propriedades $[q + p] = [q] + [p]$, para quantidades de mesma dimensão, e $[pq] = [p][q]$, para quantidades de dimensões diferentes.

• A adição se estende para quantidades de mesma dimensão: $r\,\texttt{u} + s\,\texttt{v} = (a_0 + \lambda r + s)\,\texttt{v}$. Naturalmente, a dimensão é preservada: $[r\,\texttt{u} + s\,\texttt{v}] = [\texttt{u}] = [\texttt{v}]$.

• As hipóteses do conjunto de unidades ser um grupo abeliano (em particular, qualquer dimensão $D$ possui inversa $D^{-1}$, com $D^0=1$ adimensional) e dos racionais agirem livremente nele (em particular, dados $D$ e $n$ existe o elemento $(1/n)D$ e é unico, de forma que podeos chamamá-lo de $D^{1/n}$.)

• Essa multiplicação se estende naturalmente a unidades e quantidades.

  • No caso de unidades, definimos $(\texttt{u},\texttt{v})\rightarrow \texttt{u}*\texttt{v}$, com $[\texttt{u}\texttt{v}] = [\texttt{u}][\texttt{v}]$, assim como a inversa multiplicativa $[\texttt{u}/\texttt{v}] = [\texttt{u}]/[\texttt{v}]$, sendo que $[\texttt{u}/\texttt{u}] = 1$, representando a adimensionalidade.

  • No caso de quantidades, temos $r\,\texttt{u} * s\,\texttt{v} = rs \,\texttt{u}\texttt{v}$ e $(r\,\texttt{u}) / (s\,\texttt{v}) = (r/s)\,\texttt{u}\texttt{v}$, quando $s\neq 0$.

Funções transcendentais

• As funções trigonométricas, a função exponencial, o logaritmo e outras funções transcendentais não são estendidas diretamente a quantidades, unidades e dimensões.

• Elas podem ser definidas por geometria ou por séries de potências ou por outras maneiras não puramente algébricas e que não estão plenamente disponíveis no contexto dimensional.

• Elas só se aplicam a quantidades adimensionais.

• O logaritmo, no entanto, pode ser dado um certo sentido em geral, mas é preciso ter cuidado.

Dimensões com estrutura de espaço vetorial e "um" logaritmo

• De maneira apropriada, podemos associar o grupo $\mathcal{D}$ de dimensões com um espaço vetorial sobre os racionais.

• Para diferenciar o conjunto de dimensões munido das operações de grupo, que denotamos por $\mathcal{D}$, do mesmo conjunto munido das operações vetoriais, vamos denotar este último por $\overline{\mathcal{D}}$.

• A cada $D$, vamos denotar por $\bar D$ essa dimensão vista como elemento de $\overline{\mathcal{D}}$. (Imagine "mergulhar" $x\in\mathbb{R}$ em $\bar x = (x,0)\in \mathbb{R}^2$, ou trasformar $s\in (0,\infty)$ em $\bar s = \log s \in \mathbb{R}$... 😉)

• Dados um racional $q$ e dimensões $\bar D$, $\bar D_1$ e $\bar D_2$ em $\overline{\mathcal{D}}$, definimos o produto escalar e a soma vetorial em $\mathcal{D}$ respectivamente por

$$q \bar D = \overline{D^q}, \qquad \bar D_1 + \bar D_2 = \overline{D_1 D_2}.$$

• Verifique, de fato, que isso faz de $\bar{D}$ um espaço vetorial sobre os racionais!

• E observe que, com essa representação, a transformação $D\mapsto \bar D$ tem a "cara" (propriedades algébricas) de um logaritmo.

• Por conta disso, podemos renomear essa transformação para $\operatorname{Log}$:

$$q \operatorname{Log}(D) = \operatorname{Log}(D^q), \qquad \operatorname{Log}(D_1D_2) = \operatorname{Log}(D_1) + \operatorname{Log}(D_2).$$

• Observe o meu cuidado em não escrever $\log$, mas $\operatorname{Log}$, para ressaltar que ele não é o mesmo operador que age concretamente nos reais (e nos complexos, quaternions, etc.)

O espaço de dimensões do sistema MKS

• No sistema MKS, só consideramos as dimensões de comprimento, massa e tempo: $L$, $M$ e $T$.

• A partir delas, temos velocidade $L T^{-1}$, aceleração $L T^{-2}$, área $L^2$, volume $L^3$, densidade $ML^{-3}$, energia $ML^2T^{-2}$ e assim por diante.

• Claramente, isso tem uma aspecto de base, onde $L$, $M$ e $T$ geram todas as outras dimensões desse sistema.

• Essa associação fica mais clara quando usamos a representação logarítmica anterior, onde podemos escrever

$$\begin{align*} \operatorname{Log}(L T^{-1}) & = \operatorname{Log}(L) - \operatorname{Log}(T), & \text{(velocidade)} \\ \operatorname{Log}(L T^{-2}) & = \operatorname{Log}(L) - 2\operatorname{Log}(T), & \mathrm{(aceleração)} \\ \operatorname{Log}(L^2) & = 2 \operatorname{Log}(L), & \mathrm{(área)} \\ \operatorname{Log}(L^3) & = 3 \operatorname{Log}(L), & \mathrm{(volume)} \\ \operatorname{Log}(ML^{-3}) & = \operatorname{Log}(M) - 3\operatorname{Log}(L), & \mathrm{ (densidade)} \\ \operatorname{Log}(ML^{2}T^{-2}) & = \operatorname{Log}(M) - 2\operatorname{Log}(L) - 2\operatorname{T}, & \mathrm{(energia)} \end{align*}$$

Logaritmos de quantidades e unidades

• A mesma ideia pode ser estendida a quantidades e unidades, afinal eles também tem essa estutura de grupo abeliano para a multiplicação.

• Podemos considerar $\operatorname{Log}(\texttt{u})$ de uma unidade $\texttt{u}$ e, associado a isso, $\operatorname{Log}(q)$ de uma quantidade.

• Mas cuidado!:

  • A operação $\operatorname{Log}(\texttt{u}) + \operatorname{Log}(\texttt{v})$ deve ser vista meramente como uma representação da unidade $\texttt{u}\texttt{v}$, não como números reais sendo somados. Essa adição mora em um espaço vetorial abstrato.

  • Da mesma forma para quantidades, mas, mais ainda, nem pensar em fazer $\operatorname{Log}(2 \;\texttt{metros}) = \log(2) + \operatorname{Log}(\texttt{metros})$. Isso não tem o menor sentido. Não podemos "quebrar" a unidade $(2, \texttt{m})$ em dois objetos separados e operar em cada um deles, nem tampouco somar um número real $\log(2)$ com essa representação abstrata $\operatorname{Log}(\texttt{metros})$ da unidade metros.

  • E não confundir $\operatorname{Log}$ com $\log$!

Quantidades e unidades como um subespaço afim unidimensional real

• O conjunto de unidades também pode ter uma representação mais concreta.

• Cada conjunto de equivalência de unidade pode ser visto como um subespaço afim unidimensional sobre os reais.

• Na maioria dos casos, simplesmente como um subespaço.

• Dadas duas unidades $\texttt{u}$ e $\texttt{v}$ na mesma classe, ou seja, de mesma dimensão, existem um $a_0\in \mathbb{R}$ e um fator $\lambda>0$ tais que, qualquer $r\in \mathbb{R}$, podemos sempre escrever $r\,\texttt{u}$ como $r\,\texttt{u} = (a_0 + \lambda r)\,\texttt{v}$, para algum $s\in \mathbb{R}$.

• É essencialmente como se cada unidade se comportasse como uma base para o subespaço.

Referências

1. C. Dym, Principles of Mathematical Modeling, 2nd ed, Academic Press, 2004.

2. E. A. Bender, An Introduction to Mathematical Modeling, Dover, 1978.

3. G. Barenblatt, G. – Scaling, Cambridge University Press, 2003.

4. Groesen, E. van, and Molenaar, J. – Continuum Modeling in the Physical Sciences, SIAM, 2007.

5. T. Tao, A mathematical formalisation of dimensional analysis.