7.3. Leis de conservação em um contexto Newtoniano

Sistema e leis de evolução

• Nesta parte, vamos considerar um sistema de \(n\) partículas, com coordenadas

\[ \mathbf{r}=(\mathbf{r}_1,\ldots, \mathbf{r}_n) \]

em um referencial inercial, onde \(\mathbf{r}_i\in \mathbb{R}^3\) são as coordenadas espaciais de cada partícula, \(i = 1, \ldots, n\).

• Nesse sistema, age um conjunto de forças

\[ \mathbf{F}(t,\mathbf{r}) = (\mathbf{F}_1(t,\mathbf{r}),\ldots, \mathbf{F}_n(t,\mathbf{r})), \]

representando a combinação das forças agindo em cada partícula e dependendo da configuração geral do sistema.

• Pela segunda lei de Newton, temos

\[ m_i \mathbf{\ddot r}_i = \mathbf{F}_i(t,\mathbf{r}), \qquad i=1,\ldots, n. \]

Tipos de forças

• Vamos considerar uma separação das forças entre forças internas, de interação entre partículas, e forças externas, envolvendo cada partícula separadamente:

\[ \mathbf{F}(t,\mathbf{r}) = \mathbf{F}^{(i)}(\mathbf{r}) + \mathbf{F}^{(e)}(t,\mathbf{r}). \]

• A forças internas são assumidas agindo entre pares de partículas e independentes explicitamente do tempo. Mais precisamente, a força interna \(\mathbf{F}_i^{(i)}(\mathbf{r})\) agindo na partícula \(i\) é assumida como sendo um somatório de forças de interação onde cada força no somatório ocorre apenas entre essa i-ésima partícula e uma das outras partículas:

\[ \mathbf{F}_i^{(i)}(\mathbf{r}) = \sum_{j\neq i} \mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j). \]

A terceira lei de Newton

• Consideramos dois casos de sistemas, satisfazendo diferentes versões da terceira lei de Newton, de ação e reação:

• Forma fraca da terceira lei de Newton: As forças de interação entre duas partículas agem, em cada uma delas, com a mesma intensidade e em sentidos contrários:

\[ \mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j) = - \mathbf{F}_{ji}(\mathbf{r}_j,\mathbf{r}_i). \]

• Forma forte da terceira lei de Newton: As forças de interação entre duas partículas agem, em cada uma delas, com a mesma intensidade, em sentidos contrários e na direção que une essas duas partículas,

\[ \mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j) = -\varphi(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j}{\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|}, \qquad \varphi_{ij}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j) = \varphi_{ji}(\mathbf{r}_j,\mathbf{r}_i). \]

• Forças eletromagnéticas entre partículas carregadas, por exemplo, não seguem a forma forte da terceira lei de Newton.

• Não assumimos nada de especial em relação à força externa, mas em geral ela depende apenas da posição da partícula em questão, ou seja \(\mathbf{F}_i^{(e)}=\mathbf{F}_i^{(e)}(\mathbf{r}_i,t)\).

• A terceira lei de Newton é relevante para a conservação dos momentos linear e angular do sistema. Para a conservação de energia, fazemos a hipótese de que as forças são conservativas, i.e. provenientes de um potencial \(V(t,\mathbf{r})\):

\[ \mathbf{F}_i(\mathbf{r}) = -\frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}_i}(t,\mathbf{r}), \qquad i=1,\ldots, n. \]

Momento linear

• O momento linear total \(\mathbf{P}\in \mathbb{R}^3\) do sistema é definido pela somatório do momento linear \(\mathbf{p}_i = m_i\mathbf{\dot r}_i\) de todas as partículas:

\[ \mathbf{P} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot r}_i. \]

• A massa total do sistema é

\[ m = \sum_{i=1}^n m_i \]

• Por sua vez, o centro de massa do sistema é dado por

\[ \mathbf{C}_M = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^n m_i\mathbf{r}_i \]

• Observe que o momento linear total do sistema é igual ao momento linear de uma partícula de massa \(m\) localizada no centro de massa, como se o sistema estivesse todo concentrado no centro de massa:

\[ \mathbf{P} = m\mathbf{\dot C}_M. \]

Dinâmica do momento linear

• Somando as equações de movimento de todas as partículas obtemos

\[ \mathbf{\dot P} = \mathbf{F}_T, \]

• Na expressão acima, \(\mathbf{F}_T\) é a força total exercida no sistema, dada por

\[ \mathbf{F}_T(t,\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i(t,\mathbf{r}) \]

• Essa força total pode ser separada em um força total interna e uma força total externa:

\[ \mathbf{F}_T = \mathbf{F}_T^{(i)} + \mathbf{F}_T^{(e)}, \qquad \mathbf{F}_T^{(i)}(t,\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i^{(i)}, \quad \mathbf{F}_T^{(e)}(t,\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i^{(e)} \]

Conservação de momento linear

• O momento linear é conservado no caso em que as duas condições a seguir são satisfeitas:

1. As forças internas satisfazem a forma fraca da terceira lei de Newton; e

2. O força externa total é nula.

• Sob essas condições,

\[ \mathbf{\dot P} = 0. \]

• Com isso, momento angular é constante ao longo do movimento, igual a um vetor fixo \(\mathbf{P}_0\in \mathbb{R}^3\):

\[ \mathbf{P}(t) = \mathbf{P}_0, \qquad \forall t. \]

Momento angular

• O momento angular se refere a uma rotação em relação a algum ponto dado. É uma "quantidade de movimento" em torno desse ponto.

• O momento angular total do sistema em torno de um certo ponto \(\mathbf{r}_0\) é o somatório do momento angular \(m_i(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_0)\times\mathbf{\dot r}_i\) de todas as partículas:

\[ \mathbf{L}_{\mathbf{r}_0} = \sum_{i=1}^n m_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_0)\times \mathbf{\dot r}_i =\sum_{i=1}^n (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_0)\times \mathbf{p}_i. \]

Torque

• Utilizando as leis de movimento de Newton, podemos mostrar que

\[ \mathbf{\dot L}_{\mathbf{r}_0} = - \mathbf{\dot r}_0\times \mathbf{P} + \mathbf{N}_{\mathbf{r}_0}, \]

• Na expressão acima, temos o torque exercido pelas forças em relação ao ponto \(\mathbf{r}_0\), dado por

\[ \mathbf{N}_{\mathbf{r}_0} = \sum_{i=1}^n (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_0)\times \mathbf{F}_i \]

• Esse torque pode ser separado em torque interno e externo, relativo à separação da forças entre internas e externas:

\[ \mathbf{N}_{\mathbf{r}_0} = \mathbf{N}_{\mathbf{r}_0}^{(i)} + \mathbf{N}_{\mathbf{r}_0}^{(e)}, \qquad \mathbf{N}^{(i)}_{\mathbf{r}_0} = \sum_{i=1}^n (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_0)\times \mathbf{F}^{(i)}_i, \quad \mathbf{N}^{(e)}_{\mathbf{r}_0} = \sum_{i=1}^n (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_0)\times \mathbf{F}^{(e)}_i. \]

Conservação do momento angular

• O momento angular é conservado no caso em que as três condições a seguir são satisfeitas:

1. O ponto de referência \(\mathbf{r}_0\) está fixo ou é o centro de massa;

2. As forças internas satisfazem a forma forte da terceira lei de Newton; e

3. O torque externo total é nulo.

• Sob essas condições,

\[ \mathbf{\dot L}_{\mathbf{r}_0} = 0. \]

• Nesse caso, o momento angular é constante ao longo do movimento.

Energia total

• Considere, agora, o caso em que as forças são autônomas e conservativas, i.e. provenientes de um potencial \(V=V(\mathbf{r})\) independente do tempo:

\[ \mathbf{F}_i(\mathbf{r}) = -\frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}_i}(\mathbf{r}), \qquad i=1,\ldots, n. \]

• A energia total do sistema é a soma da energia cinética com a energia potencial:

\[ E(\mathbf{r},\mathbf{\dot r}) = K(\mathbf{\dot r}) + V(\mathbf{r}), \]

• A energia cinética total do sistema é dada por

\[ K(\mathbf{\dot r}) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i \|\mathbf{\dot r}_i\|^2 \]

Conservação da energia total

• Ao longo do movimento, a energia cinética varia de acordo com a equação

\[ \dot K = \sum_{i=1}^n \mathbf{\dot r}_i\cdot \mathbf{F}_i. \]

• No caso de forças autônomas conservativas, temos

\[ \dot K = -\sum_{i=1}^n \mathbf{\dot r}_i\cdot \frac{\partial V}{\partial\mathbf{r}_i}(\mathbf{r}) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} V(\mathbf{r}), \]

• Ou seja,

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (K+V) = 0 \]

• Nesse caso, a energia total \(E = K + V\) é conservada.

Exercícios

1. Demonstre a equação a seguir citada no texto:

\[ \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{\mathbf{r}_0}}{\mathrm{d} t} = - \mathbf{\dot r}_0\times \mathbf{P} + \mathbf{N}_{\mathbf{r}_0}. \]

1. Mostre, no caso em que o ponto de referência \(\mathbf{r}_0\) está fixo, i.e. não varia com o tempo, ou esse ponto de referência é o centro de massa do sistema, \(\mathbf{r}_0(t)=\mathbf{C}_M(t)\), então o termo \(\mathbf{\dot r}_0 \times \mathbf{P}\) é nulo.

2. Mostre que se a forma forte da terceira lei de Newton vale para um sistema de forças \(\mathbf{F}\), então o torque interno total é nulo, i.e.

\[ \mathbf{N}^{(i)}_{\mathbf{r}_0} = \sum_{i=1}^n (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_0)\times \mathbf{F}^{(i)}_i = 0. \]

1. Mostre que a energia cinética satisfaz

\[ \dot K = \sum_{i=1}^n \mathbf{\dot r}_i \cdot \mathbf{F}_i. \]

1. No caso de uma partícula de massa \(m\) e posição \(\mathbf{r}\in \mathbb{R}^3\) satisfazendo a equação de Newton \(\mathbf{\ddot r} = \mathbf{F}(t,\mathbf{r})\), mostre que a variação da energia cinética entre dois instantes \(t_1\) e \(t_2\) é dada por

\[ K_2 - K_1 = W_{12}, \]

onde \(K_k=K(\mathbf{\dot r}(t_k))\) é a energia cinética no instante \(t_k\), \(k=1,2\), e \(W_{12}\) é o trabalho realizado para deslocar essa partícula da posição \(\mathbf{r}_1=\mathbf{r}(t_1)\) até a posição \(\mathbf{r}_2=\mathbf{r}(t_2)\) através do caminho \(\gamma\) parametrizado por \(t \mapsto \mathbf{r}(\cdot)\):

\[ W_{12} = \int_\gamma \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot \;\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{\dot r}(t)\;\mathrm{d} t. \]